ถามโจทย์แฟกทอเรียลหน่อยค่ะ

[Petine]

1/2!+1/3!+1/4!-1/5!+.........+1/30!=x/y
เมื่อ x/y เป็นเศษส่วนอย่างต่ำ
จงหาจำนวนเฉพาะที่หาร y ลงตัว

ขอบคุณค่ะ

[กิตติ]

ขอดูเครื่องหมายในโจทย์หน่อยครับว่า

$\frac{1}{2!}+\frac{1}{3!}+\frac{1}{4!}-\frac{1}{5!}+...+\frac{1}{30!}$

หรือ

$\frac{1}{2!}+\frac{1}{3!}+\frac{1}{4!}+\frac{1}{5!}+...+\frac{1}{30!}$

[banker]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ กิตติ

$\frac{1}{2!}+\frac{1}{3!}+\frac{1}{4!}+\frac{1}{5!}+...+\frac{1}{30!}$

$\frac{1}{2!}+\frac{1}{3!}+\frac{1}{4!}+\frac{1}{5!}+...+\frac{1}{30!}$

$ = \frac{1}{2!}(1+\frac{1}{3}) +\frac{1}{4!}(1+\frac{1}{5})+...+\frac{1}{28!}(1+\frac{1}{29}) + \frac{1}{30!}$

$ = \frac{4}{3!} +\frac{6}{5!}+...+\frac{30}{29!} +\frac{1}{30!}$

ไปต่อไม่ถูก

เอาใหม่้

$= (\frac{1}{2!} \times \frac{3}{3})+\frac{1}{3!}+\frac{1}{4!}+\frac{1}{5!}+...+\frac{1}{30!}$

$= (\frac{1}{2!} \times \frac{3}{3})+\frac{1}{3!}+\frac{1}{4!}+\frac{1}{5!}+...+\frac{1}{30!}$


$=\frac{4}{3!}+\frac{1}{4!}+\frac{1}{5!}+...+\frac{1}{30!}$

$=\frac{4}{3!}\cdot \frac{4}{4}+\frac{1}{4!}+\frac{1}{5!}+...+\frac{1}{30!}$

$=\frac{17}{4!}+\frac{1}{5!}+\frac{1}{6!}+...+\frac{1}{30!}$

$=\frac{17}{4!}\cdot \frac{5}{5}+\frac{1}{5!}+\frac{1}{6!}+...+\frac{1}{30!}$

$=\frac{86}{5!}+\frac{1}{6!}+...+\frac{1}{30!}$

ไล่ยุบไปทีละพรรค เอ๊ย ทีละจำนวน สุดท้าย ลงเอยด้วย $\frac{หนึ่งก้อน \ \ (รูปแบบอะไรสักอย่าง)}{30!}$
(เหมือน หา ค.ร.น แล้วจับมาบวกกันหรือเปล่า ?)


ก็ยังไปต่อไม่ถูก


แต่แปะไว้ก่อน เผื่อท่านอื่นมาเห็นแล้ว เกิดประกายความคิด

[Petine]

ขอโทษค่ะ พิมพ์ผิด โจทย์ 1/2!+1/3!+1/4!+1/5!+.........+1/30!=x/y
พอดีเพื่อนบอกว่าตอบ 10 ตัวค่ะ
มี2 3 5 7 11 13 17 19 23 29
แต่ยังไม่เข้าใจวิธีคิด

[กระบี่เดียวดายแสวงพ่าย]

เพราะว่าถ้าเราสังเกตุจากผลบวกทีละน้อยๆ
$\frac{1}{2!} +\frac{1}{3!}=\frac{4}{3!} $
$\frac{1}{2!} +\frac{1}{3!}+\frac{1}{4!} =\frac{17}{4!} $
ดังนั้น $\frac{1}{2!} +\frac{1}{3!}+\frac{1}{4!} +...+\frac{1}{30!} $
ตัวส่วนก็ควรเป็น30!
ดังนั้นจำนวนเฉพาะที่หาร30!ได้ก็ตามนั้นน่ะครับ
แต่ผมก็ไม่แน่ใจว่า x จะตัดทอนกับy ได้ไหมน้า

[banker]

กลับมาอีกครั้ง

ก็ยังทำไม่ได้

แต่มีความคืบหน้า

เราสามารถพิสูจน์ได้ว่า

$\frac{1}{2!}+\frac{1}{3!}+\frac{1}{4!}+\frac{1}{5!}+...+\frac{1}{30!} < 1$

นั่นคือผลลัพธ์ของ $\frac{1}{2!}+\frac{1}{3!}+\frac{1}{4!}+\frac{1}{5!}+...+\frac{1}{30!} = \frac{a}{30!} \ \ $ เมื่อ

$a < 30!$ หรือ

$a$ เป็นจำนวนเฉพาะ หรือ

$a$ ไม่มีจำนวนที่อยู่ระหว่าง $2$ ถึง $30$ และเป็นตัวประกอบ

$a$ ลงท้ายด้วย 0 น้อยกว่า 7 ตัว (30! ลงท้ายด้วย 0 รวม 7 ตัว)
(ตรงนี้น่าจะเป็นอีกทางที่จะพิสูจน์)

(อ้อมโลกจัง)


ถูกหรือเปล่าหว่า ชักงงๆ

[MiNd169]

มาขึ้นให้อีกแนวทางครับ

$\frac{1}{2!}+\frac{1}{3!}+\frac{1}{4!}+\frac{1}{5!}+...+\frac{1}{30!}$

$\frac{(30)(29)(28)(27)...(4)(3)}{30!}+...+\frac{(30)(29)(28)}{30!}+\frac{(30)(29)}{30!}+\frac{30}{30!}+\frac{1}{30!}$

$\frac{(30)(29)(28)(27)...(4)(3)+...+(30)(29)(28)+(30)(29)+(30)+1}{30!}$

$\frac{1+(30)+(30)(29)+(30)(29)(28)+...+(30)(29)(28)(27)...(4)(3)}{30!}$

$\frac{1+30(1+29(1+28(1+27(...(1+3(1+2(1+1(1+0)))))...)))}{30!}$


แล้วก็ไปต่อไม่ได้อีกราย

[หยินหยาง]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ banker

$\frac{1}{2!}+\frac{1}{3!}+\frac{1}{4!}+\frac{1}{5!}+...+\frac{1}{30!}$
...
ไปต่อไม่ถูก
เอาใหม่้
.....
ไล่ยุบไปทีละพรรค เอ๊ย ทีละจำนวน สุดท้าย ลงเอยด้วย $\frac{หนึ่งก้อน \ \ (รูปแบบอะไรสักอย่าง)}{30!}$
(เหมือน หา ค.ร.น แล้วจับมาบวกกันหรือเปล่า ?)
ก็ยังไปต่อไม่ถูก
แต่แปะไว้ก่อน เผื่อท่านอื่นมาเห็นแล้ว เกิดประกายความคิด

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ banker

กลับมาอีกครั้ง

ก็ยังทำไม่ได้

แต่มีความคืบหน้า

เราสามารถพิสูจน์ได้ว่า
......
.......
(อ้อมโลกจัง)
ถูกหรือเปล่าหว่า ชักงงๆ

ท่าน สว. ครับ ท่านช่างเหมือน โทมัส อัลวา เอดิสัน จังครับ
1.วิธีการที่ท่านทำมาแม้ไม่ประสบความสำเร็จแต่ไม่ใช่ความล้มเหลว แต่ทำให้รู้ว่า...
2. โทมัส อัลวา เอดิสัน กล่าวไว้ว่า คำว่าอัจฉริยะในความคิดของผม ประกอบด้วยพรสวรรค์เพียง 1% ส่วนอีก 99% มาจากความพยายาม

ผมเห็นถึงความพยายามของท่าน ทำให้เกิดประกายความคิด ถ้าคำนวณไม่ผิด ขอตอบว่า
$2, 3, 5, 7, 11, 17, 19, 23, 29$ (ไม่มี 13 นะครับ)

[Siren-Of-Step]

hint หน่อยครับ คุณหยินหยาง

[XCapTaiNX]

จำได้ว่ามันเป็นข้อสอบเข้ามหิดลปี 53 ม่ะชั่ยหรอคับ

[กิตติ]

จริงๆผมมองว่าเป็นอนุกรมรังผึ้ง....หรือเปล่า
เพราะว่า$a_1 = \frac{1}{2} $
$a_2 = \frac{1}{2}\times \frac{1}{3}=\frac{1}{3}\times a_1 =\frac{1}{3!} $
$a_3 = \frac{1}{4} \times \frac{1}{3!} =\frac{1}{4}\times a_2=\frac{1}{4!}$
จนถึง
$a_{29} = \frac{1}{30} \times \frac{1}{29!} =\frac{1}{30}\times a_{28}=\frac{1}{30!}$
$a_1+a_2+...+a_{29} = \frac{1}{2!}+\frac{1}{3!}+...+\frac{1}{30!}$
แล้วก็หาผลบวกอนุกรมไม่ได้อีก....55555

[TuaZaa08]

ติดนิดเดียวอ่า ดูให้หน่อยครับ

พิจารณา $\frac{1}{2!} $

$\frac{1}{2!} = \frac{2-1}{2!} =\frac{1}{1!} - \frac{1}{2!} $
$\frac{1}{3!} = \frac{3-2}{3!} =\frac{1}{2!} - \frac{2}{3!} $
.
.
.
$\frac{1}{30!} = \frac{30-29}{30!} =\frac{1}{29!} - \frac{29}{30!} $

บวกกันทั้งหมด

จะได้ $ Sum = \frac{1}{1!} -\frac{29}{30!} $

แล้วไปไงต่ออ่าครับ

[หยินหยาง]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ Siren-Of-Step

hint หน่อยครับ คุณหยินหยาง

มาช้าหน่อยครับเพราะให้เวลาตกผลึกซะหน่อย

$\frac{\frac{30!}{2!}+\frac{30!}{3!}+\frac{30!}{4!}+\frac{30!}{5!}+...+\frac{30!}{30!}}{30!} $

ลองสังเกตดูว่าจะใช้ประโยชน์อะไรจากการจัดรูปแบบนี้
ตัวประกอบเฉพาะของ 30! มีอะไรบ้าง แล้วจะรู้ได้อย่างไรว่าตัวไหนสามารถหารได้ ลองคิดดูครับ

[กิตติ]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ TuaZaa08

ติดนิดเดียวอ่า ดูให้หน่อยครับ

พิจารณา $\frac{1}{2!} $

$\frac{1}{2!} = \frac{2-1}{2!} =\frac{1}{1!} - \frac{1}{2!} $
$\frac{1}{3!} = \frac{3-2}{3!} =\frac{1}{2!} - \frac{2}{3!} $
.
.
.
$\frac{1}{30!} = \frac{30-29}{30!} =\frac{1}{29!} - \frac{29}{30!} $

บวกกันทั้งหมด

จะได้ $ Sum = \frac{1}{1!} -\frac{29}{30!} $

แล้วไปไงต่ออ่าครับ

$\frac{1}{2!} = \frac{2-1}{2!} =\frac{1}{1!} - \frac{1}{2!} $
$\frac{1}{3!} = \frac{3-2}{3!} =\frac{1}{2!} - \frac{2}{3!} $
$\frac{1}{4!} = \frac{4-3}{4!} =\frac{1}{3!} - \frac{3}{4!} $
$\frac{1}{5!} = \frac{5-4}{5!} =\frac{1}{4!} - \frac{4}{5!} $
.
$\frac{1}{28!} = \frac{28-27}{28!} =\frac{1}{27!} - \frac{27}{28!} $
$\frac{1}{29!} = \frac{29-28}{29!} =\frac{1}{28!} - \frac{28}{29!} $
$\frac{1}{30!} = \frac{30-29}{30!} =\frac{1}{29!} - \frac{29}{30!} $

เวลารวมกันแล้วไม่ได้เท่ากับ$1-\frac{29}{30!} $
แต่ได้เท่ากับ$1-\frac{1}{3!} -\frac{2}{4!}-...- \frac{27}{29!}-\frac{29}{30!}$
ลองเช็คดูอีกทีไหมครับ

[XCapTaiNX]

ผมคิดว่า โจทย์น่าจะเป็นแบบนี้น่ะคับ $\frac{1}{2!}+\frac{2}{3!}+\frac{3}{4!}+...+\frac{29}{30!}=\frac{x}{y}$

ไม่งั้นโจทย์นี้คงยากน่าดู