สอวน. คณิตศาสตร์ ศูนย์ศิลปากร ครับ ( 2553 )

[JKung]

ข้อวงกลมสงสัยตั้งแต่ในห้องสอบแล้วว่า เค้าจะให้ตอบเป็นตัวเลข หรือว่าติดตัวแปร ?

[strawberry_tart]

จากรูปนะคะให้มาว่า
2PA = AC
2QB = AB
2CR = BC
ถ้าให้พื้นที่ของสามเหลี่ยม PQR มีค่า 40 ตารางหน่วย
แล้วจงหาพื้นที่ของสามเหลี่ยม ABC

ปล.ขอบคุณทุกๆ ท่านที่มาตอบค่ะ
ปล.สอง. (คนที่สอบ)ถ้าโจทย์ผิดพลาดอย่างไรมาช่วยกันแก้ได้นะคะ

[iMsOJ2i2y]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ strawberry_tart

งึมๆๆๆ โจทย์คอมนะคะ
ค่า n นี้ไม่รู้เหมือนกันค่ะ (ใครรู้ตอบให้ด้วยน้าา)
แต่ว่าข้อนี้ต้องตอบว่า A = 9 และ B = 1
เพราะว่าจากโจทย์นั้นเค้าให้มาว่า A คือค่ามากที่สุดและ B คือค่าน้อยที่สุดค่ะ
ดูได้จากที่บอกว่า X > A ให้ นำค่า X มาใส่ใน A (ไม่เขียนตัวไอห้อยไม่ว่ากันนะคะ)
และถ้า X < B ให้นำค่า X มาใส่ใน B ค่ะ
เพราะฉะนั้นจะได้ว่าค่า A คือค่า max ส่วนค่า B คือค่า min
แล้วโจทย์ก็ให้ค่า X มา ทีนี้เราก็แค่หาค่าที่มากที่สุดให้เป็น A
และค่าที่น้อยที่สุดเป็นค่า B แค่นี้ค่ะ

ปล. ข้าน้อยก็ไม่ค่อยเก่งนักเพราะงั้นผิดไม่ว่ากันน้าค้าาาาา...
ปล.สอง. ขอบคุณทุกคนที่ยอมเสียสละเวลามาอ่านค่ะ

T^T เศร้ามากเลยครับ ข้อนี้ผมคิดลึกไปหน่อย

ผมคิดว่า ถ้าไม่มีค่า n มันคงไม่เข้าลูป เลยตอบ 7 7 ไป แงๆ T^T

แต่ยังไงก็ขอบคุณมากนะครับที่มาตอบ

ปล. อยากติด สอวน คอมมากเลย T^T แต่คงไม่ติดแน่เรา T ^ T

[Onasdi]

ข้อโรงเรียน
$$\dfrac{1}{5}=\dfrac{[ABD]}{[ABC]+[BCE]}=\dfrac{\dfrac{1}{2}DB\cdot AC}{\dfrac{1}{2}BC\cdot AC+\dfrac{1}{2}BC\cdot BE}=\dfrac{DB\cdot AC}{AC+BE}$$
ใช้สามเหลี่ยมคล้าย ACD~EBD ได้ $\dfrac{AC}{AC+BE}=\dfrac{CD}{CD+DB}=CD$
ดังนั้น $\dfrac{1}{5}=DB\cdot CD=DB(1-DB)$ แก้สมการได้ $DB=\dfrac{5\pm \sqrt{5}}{10}$

[JKung]

ข้อสามเหลี่ยม
ลากเส้น PB,AR,CQ

จากรูป ให้[ABC] = a

จะได้ [ACR] = $\frac{a}{2}$

[QBC] = $\frac{a}{2}$

[PAB] = $\frac{a}{2}$

[QCR] = $\frac{a}{4}$

[PAR] = $\frac{a}{4}$

[PBQ] = $\frac{a}{4}$

ดังนั้น ($\frac{a}{2}$ X 3 + $\frac{a}{4}$ X 3) + a = 40

($\frac{3a}{2}$ + $\frac{3a}{4}$) +a = 40

$\frac{13a}{4}$ = 40

จึงได้ a = $\frac{160}{13}$

[strawberry_tart]

ข้อความเดิมจากคุณ JKung ค่ะ

อยากรู้ว่าทำไมต้องลากเส้นเพิ่มคะ
แล้วทไมรูปที่ได้มี พท.เป็นครึ่งนึง

ปล.ขอบคุณที่ตอบค่ะ

[JKung]

สูงเท่ากัน แต่ฐานเป็นครึ่งหนึ่งค่ะ พื้นที่ก็เลยเหลือแค่ครึ่งเดียว =^^=

[banker]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ strawberry_tart

จากรูปนะคะให้มาว่า
2PA = AC
2QB = AB
2CR = BC
ถ้าให้พื้นที่ของสามเหลี่ยม PQR มีค่า 40 ตารางหน่วย
แล้วจงหาพื้นที่ของสามเหลี่ยม ABC



ปล.ขอบคุณทุกๆ ท่านที่มาตอบค่ะ
ปล.สอง. (คนที่สอบ)ถ้าโจทย์ผิดพลาดอย่างไรมาช่วยกันแก้ได้นะคะ

โจทย์แนวนี้ เคยติวที่นี่แล้ว ถ้าสนใจ ก็สบายไปแล้ว

http://www.mathcenter.net/forum/show...&postcount=688




$13 x = 40 $

สามเหลี่ยม $ \ ABC = 4x = \frac{160}{13} \ $ ตารางหน่วย

[{ChelseA}]

ข้อวงกลมผมมั่วได้ $2-\sqrt2$ อะครับ = =

เปลี่ยนเป็น พื้นแรเงา=พื้นที่วงกลมกลางนะครับ ทดผิดขนานใหญ่

[Onasdi]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ strawberry_tart

โจทย์ข้อนี้บอกไว้ว่า
วงกลมสามวงซ้อนกันอยู่
โดยวงกลมขนาดกลางมีรัศมีเท่ากับ r
วงกลมขนาดเล็กมีรัศมีเท่ากับ x
และวงกลมขนาดใหญ่มีรัศมีเท่ากับ x + r
ให้หาว่าพื้นที่ส่วนที่แรเงาเป็นกี่เท่าของพื้นที่ของวงกลมรัศมี r ค่ะ
โจทย์น่าจะแบบนี้น้าถ้าจำไม่ผิด

ปล. ขอบคุณทุกๆท่านที่มาช่วยตอบค้าา

ดูแล้วมันแปลกๆ มันไม่เกี่ยวกันวงกลมวงเล็กเลยนะครับ วงเล็กนี่สัมผัสกันวงกลาง หรือยังไงครับ

[banker]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ strawberry_tart

โจทย์ข้อนี้บอกไว้ว่า
วงกลมสามวงซ้อนกันอยู่
โดยวงกลมขนาดกลางมีรัศมีเท่ากับ r
วงกลมขนาดเล็กมีรัศมีเท่ากับ x
และวงกลมขนาดใหญ่มีรัศมีเท่ากับ x + r
ให้หาว่าพื้นที่ส่วนที่แรเงาเป็นกี่เท่าของพื้นที่ของวงกลมรัศมี r ค่ะ
โจทย์น่าจะแบบนี้น้าถ้าจำไม่ผิด

ปล. ขอบคุณทุกๆท่านที่มาช่วยตอบค้าา

$\dfrac{พื้นที่วงแหวน}{วงกลม \ r} = \dfrac{\pi (x + r)^2 - \pi r^2}{\pi r^2} = \dfrac{(x+r)^2}{r^2} - 1$ ....(*)

สามเหลี่ยม $OAB \ \ \ \ \ \ r^2 + r^2 = (x+r)^2 = 2 r^2$

แทนค่าในสมการข้างต้น $ \ \ \dfrac{พื้นที่วงแหวน}{วงกลม \ r} = \dfrac{2r^2}{r^2} - 1 = 1 \ \ \ Ans.$

[banker]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ strawberry_tart

(เอารูปใหม่มาลงแล้วค้า ดูดีขึ้นเยอะเลย)
คือจากโจทย์บอกไว้ว่า
ให้ A,B,C คือสถานที่สามที่ได้แก่ โรงเรียน, โรงพยาบาลและสถานีตำรวจตามลำดับ
โดย ABC เป็นสามเหลี่ยมมุมฉาก และเส้นตรง CB มีความยาว 1 หน่วย
จากนั้นลากเส้นจากจุด A มาที่จุด E ซื่งจุดE เกิดจากการลากเส้นตรงตั้งฉากกับเส้นตรงCB
จะได้จุด D ซึ่งคือจุดตัดของเส้นตรง AE และเส้นตรง CB
ถ้าพื้นที่ของสามเหลี่ยม ABD กับพื้นที่ของสี่เหลี่ยม ABEC คิดเป็นอัตราส่วน 1 : 5
แล้วจงหาความยาวของเส้นตรง DB


ปล. สำหรับคนที่ไปสอบมาถ้าโจทย์ผิดตรงไหนช่วยแก้ให้ด้วยนะคะ

สามเหลี่ยม $ABD = \frac{1}{2} mq \ $ ......(1)

สี่เหลี่ยม $ABEC = \bigtriangleup ABC + \bigtriangleup BCE$

สี่เหลี่ยม $ABEC = \frac{1}{2} m \cdot 1 + \frac{1}{2} p \cdot 1$ ...(2) $ \ \ (เส้นตรง CB มีความยาว 1 หน่วย)$

(2) = 5(1) $ \ \ \ 5 (\frac{1}{2} mq ) = \frac{1}{2} m+ \frac{1}{2} p$

$ 5 (mq ) = m+ p$

$ 5q = 1 + \frac{p}{m}$ .....(3)


สามเหลี่ยม $DBE \ $ คล้าย สามเหลี่ยม $ \ ACD \ \ \ $ (มมม)

$\frac{p}{m} = \frac{q}{1 - q}$

แทนค่าใน (3)

$ 5q = 1 + \frac{q}{1 - q}$

$5q^2 - 5q +1 = 0$

$ q = \frac{1}{10} (5 -\sqrt{5} ), \ \ \frac{1}{10} (5 +\sqrt{5} )$

ตอบ ความยาวของเส้นตรง $ DB = \frac{1}{10} (5 -\sqrt{5} ), \ \ \frac{1}{10} (5 +\sqrt{5} )$ หน่วย

[strawberry_tart]

ขอบคุณทุกคนที่ตอบค้าาา
เข้าใจแจ่มแจ้งล่ะ ข้อสามเหลี่ยมอ่ะ
งึมๆๆ วันหลังจะตั้งใจติวโจทย์ให้มากกว่านี้ค้าา.. ขอโทษ

[Onasdi]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ banker

Attachment 3704

$\dfrac{พื้นที่วงแหวน}{วงกลม \ r} = \dfrac{\pi (x + r)^2 - \pi r^2}{\pi r^2} = \dfrac{(x+r)^2}{r^2} - 1$ ....(*)

สามเหลี่ยม $OAB \ \ \ \ \ \ r^2 + r^2 = (x+r)^2 = 2 r^2$

แทนค่าในสมการข้างต้น $ \ \ \dfrac{พื้นที่วงแหวน}{วงกลม \ r} = \dfrac{2r^2}{r^2} - 1 = 1 \ \ \ Ans.$

ผมเห็นด้วยครับว่า AB ตั้งฉาก OB จริง แต่ผมหาเหตุผลที่จะเอามาสรุปความจริงนี้ไม่เจออะครับ

[~ArT_Ty~]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ strawberry_tart

โจทย์ข้อนี้บอกไว้ว่า
วงกลมสามวงซ้อนกันอยู่
โดยวงกลมขนาดกลางมีรัศมีเท่ากับ r
วงกลมขนาดเล็กมีรัศมีเท่ากับ x
และวงกลมขนาดใหญ่มีรัศมีเท่ากับ x + r
ให้หาว่าพื้นที่ส่วนที่แรเงาเป็นกี่เท่าของพื้นที่ของวงกลมรัศมี r ค่ะ
โจทย์น่าจะแบบนี้น้าถ้าจำไม่ผิด

ปล. ขอบคุณทุกๆท่านที่มาช่วยตอบค้าา

ผมทำอย่างงี้ครับ

จะได้ว่า $x=(\sqrt{2} -1)r$

พื้นที่จะเท่ากับ $(3-2 \sqrt{2})r^2$

ทำให้รัศมีวงกลมใหญ่คือ $(\sqrt{2}-1+1)r=\sqrt{2}r$

$\therefore$ พื้นที่วงแหวนคือ $2r^2-r^2=r^2$

$\therefore$ อัตราส่วนพื้นที่คือ $\frac{r^2}{(3-2 \sqrt{2})r^2}= 6+4 \sqrt{2}$ ครับ

ถูกผิดยังไงชี้แนะด้วยครับ