พิสูจน์ Sup

[ครูนะ]

ให้ A = {1/n - 1/m โดยที่ n, m อยู่ในจำนวนนับ}

ให้พิสูจน์ว่า Sup A = 1, Inf A = -1

รบกวนผู้รู้ช่วยผมด้วยครับ ผมทำไม่ได้จริงๆ ขอแบบละเอียดครับ

[nooonuii]

ใช้ทฤษฎีบทที่ว่า

$s=\sup{A} \Leftrightarrow \forall \epsilon>0\exists x\in A, s-x<\epsilon$

จะพิสูจน์ว่า $1=\sup{A}$ ก็ต้องพิสูจน์ว่า สำหรับแต่ละ $\epsilon>0$ จะต้องมีจำนวนนับ $m,n$ ซึ่งทำให้

$1-\Big(\dfrac{1}{m}-\dfrac{1}{n}\Big)<\epsilon$

$1-\epsilon < \dfrac{1}{m}-\dfrac{1}{n}$

ลองให้ $m=1$ จะได้อสมการ

$\dfrac{1}{n}<\epsilon$

ซึ่งเลือก $n$ ให้มีคุณสมบัตินี้ได้โดย Archimedean property

ส่วนของ infimum ก็ใช้วิธีเดียวกัน ลองไปเรียบเรียงวิธีพิสูจน์ดูครับ

[ครูนะ]

ขอบคุณมากครับ