มาลองทำข้อสอบเข้ามหาวิทยาลัยของญี่ปุ่นกัน :))

[~ArT_Ty~]

ผมเอามาจาก ข้อสอบเข้ามหาลัยของญี่ปุ่นครับ จาก Japan Tokio University Entry Examination

แปลมาจากภาษาอังกฤษ :P

มาลองทำซักข้อสองข้อ

1. ให้ $(x,y)$ เป็นจุดบนระบบพิกัดฉากโดยที่ $ 2x^{2}+4xy+3y^{2}+4x+5y-4=0$ จงหาค่ามากที่สุดที่เป็นไปได้ของ $x$

2. กำหนดพิกัดจุด $O,A,B,C$ เป็น $(0,0),(0,1),(1,0),(t,0)$ ตามลำดับ โดยที่ $0<t<1$

จุด $D$ อยู่ในส่วนของเส้นตรง $AB$ โดยที่ $A\hat C O=B\hat C D$

จงหาพื้นที่ที่มากที่สุดที่เป็นไปได้ของสามเหลี่ยม $ACD$

เผื่อใครจะช่วยแปลครับ นี่ลิงก์ต้นฉบับครับ http://www.artofproblemsolving.com/F...e4487c4d54663c

[artty60]

ข้อ 1 ลองดูครับ

ปรับสมการใหม่เป็น $2(x+y)^2+(y+\frac{5}{2})^2=\frac{41}{4}-4x$

$\therefore Xmax=\frac{41}{16}$

[~ArT_Ty~]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ artty60

ข้อ 1 ลองดูครับ

ปรับสมการใหม่เป็น $2(x+y)^2+(y+\frac{5}{2})^2=\frac{41}{4}-4x$

$\therefore Xmax=\frac{41}{16}$

ทำไมถึงสรุปได้ครับ??

[artty60]

$\because \frac{41}{4}-4x\geqslant 0$

[Scylla_Shadow]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ artty60

ข้อ 1 ลองดูครับ

ปรับสมการใหม่เป็น $2(x+y)^2+(y+\frac{5}{2})^2=\frac{41}{4}-4x$

$\therefore Xmax=\frac{41}{16}$

ถ้าแทน $x=\frac{41}{16}$
จะได้ว่า $2(y+\frac{41}{16})^2+(y+\frac{5}{2})^2=0$
จะได้ว่า y มีค่าเท่าไรกันหนอ

ปล. ข้อแรกทำแบบสมการกำลังสองก็น่าจะได้

[~ArT_Ty~]

มาเติมอีกข้อครับ

กำหนดให้ $D$ เป็นบริเวณที่อยู่ระหว่าง $x^2+(y-1)^2\leqslant 1$ และ $x\geqslant \frac{\sqrt{2}}{3}$

ให้ส่วนของเส้นตรง $l$ อยู่บนเส้นตรงที่ผ่านจุดกำเนิดและเป็นบริเวณที่อยู่ร่วมกันของบริเวณ $D$ และเส้นตรงดังกล่าว

จงหาความยาวของส่วนของเส้นตรง $l$ ที่มากที่สุดที่เป็นไปได้ และหาว่า $\cos \theta$ เท่ากับเท่าใด

โดยที่ $0<\theta<\frac{\pi}{2}$ และ $\theta$ เป็นมุมที่ส่วนของเส้นตรง $l$ ทำกับแกน $x$ ในขณะนั้น

[artty60]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ Scylla_Shadow

ถ้าแทน $x=\frac{41}{16}$
จะได้ว่า $2(y+\frac{41}{16})^2+(y+\frac{5}{2})^2=0$
จะได้ว่า y มีค่าเท่าไรกันหนอ

ปล. ข้อแรกทำแบบสมการกำลังสองก็น่าจะได้

ได้ $y=\frac{-1952\pm \sqrt{1952^2-4\times 817\times 384}}{2\times 384}$

ข้อ2 $\triangle ACDmax=\frac{1}{2\sqrt{2}}$

ผมอาจจะผิดนะครับแต่ช่วยแก้ให้หน่อยก็จะดีครับ

[~ArT_Ty~]

ไม่ใช่นะครับ เพราะค่า x ที่บอกมานั้นมันทำให้ค่า y ไม่สอดคล้องอ่ะครับ

[AnDroMeDa]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ ~ArT_Ty~

1. ให้ $(x,y)$ เป็นจุดบนระบบพิกัดฉากโดยที่ $ 2x^{2}+4xy+3y^{2}+4x+5y-4=0$ จงหาค่ามากที่สุดที่เป็นไปได้ของ $x$

เขียนสมการใหม่เป็น $3y^2+(4x+5)y+2x^2+4x-4=0$ ใช้ discriminant จะได้
discriminant$=(4x+5)^2-4(3)(2x^2+4x-4)\geqslant 0 \Leftrightarrow -8x^2-8x+73\geqslant 0\Leftrightarrow 8x^2+8x-73=8(x+\frac{1}{2} )^2-75\leqslant 0$
ซึ่งจะได้ว่า $\frac{-2-5\sqrt{6} }{4} \leqslant x\leqslant \frac{-2+5\sqrt{6} }{4} $
ดังนั้นค่ามากที่สุดที่เป็นไปได้ของ $x$ คือ $\frac{-2+5\sqrt{6} }{4}$

[Suwiwat B]

ขอลองทำข้อ 2 นะครับ .. ไม่รู้ถูกผิดยังไงช่วงชี้เเนะด้วยครับ

[Suwiwat B]

อันนี้ไม่เเน่ใจนะครับ เเต่มันก็ออกมาสวยดี ช่วยดูให้ด้วยนะครับ

[Thgx0312555]

อีกวิธีครับ 2))



ให้ $|X_1X_2...X_n|$ แทนพื้นที่รูปหลายเหลี่ยม $X_1X_2...X_n$

สะท้อนจุด D ข้ามแกน x ไปที่ จุด D"
โดยมุมแย้ง จะได้ A,C,D" อยู่บนเส้นตรงเดียวกัน

พิจารณา $AD" : y=-\dfrac{x}{t}+1$ ตัด $BD" : y = x-1$ ที่ $D" : (\dfrac{2t}{t+1},\dfrac{t-1}{t+1})$

$|ACD|$ มีค่ามากสุด ก็ต่อเมื่อ $|AOD|+|BDC| = |AOD|+|BD"C|$ มีค่าน้อยที่สุด

แต่ $|AOD|+|BD"C| = \dfrac{t}{2}+\dfrac{|(1-t)(t-1)|}{2(t+1)} = \dfrac{1}{2(t+1)}(t^2+t+t^2-2t+1) = \dfrac{2t^2-t+1}{2(t+1)} = \dfrac{1}{2}(2(t+1)-5+\dfrac{4}{t+1})$

$|AOD|+|BD"C| \ge \dfrac{4\sqrt{2}-5}{2}$
$|ACD| \le \dfrac{1-4\sqrt{2}+5}{2} = 3-2\sqrt{2}$

ซึ่งอสมการเป็นสมการก็ต่อเมื่อ $t = \sqrt{2}-1$

ดังนั้นสามเหลี่ยม ACD มีพื้นที่มากที่สุดเท่ากับ $3-2\sqrt{2}$

[จูกัดเหลียง]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ ~ArT_Ty~

มาเติมอีกข้อครับ

กำหนดให้ $D$ เป็นบริเวณที่อยู่ระหว่าง $x^2+(y-1)^2\leqslant 1$ และ $x\geqslant \frac{\sqrt{2}}{3}$

ให้ส่วนของเส้นตรง $l$ อยู่บนเส้นตรงที่ผ่านจุดกำเนิดและเป็นบริเวณที่อยู่ร่วมกันของบริเวณ $D$ และเส้นตรงดังกล่าว

จงหาความยาวของส่วนของเส้นตรง $l$ ที่มากที่สุดที่เป็นไปได้ และหาว่า $\cos \theta$ เท่ากับเท่าใด

โดยที่ $0<\theta<\frac{\pi}{2}$ และ $\theta$ เป็นมุมที่ส่วนของเส้นตรง $l$ ทำกับแกน $x$ ในขณะนั้น

ได้เท่า #11 ครับ เเต่ผมทำประมาณนี้
ให้ $t=$ ความยาวส่วนของเส้นตรง $l$ พอเราทำไปมาจะได้ประมาณว่าเเละเห็นได้ชัดจาก $$t=\frac{6\cos\theta\sqrt{1-\cos^2\theta}-\sqrt{2}}{3\cos \theta}\le \sqrt{\frac{2}{3}}$$ $$\leftrightarrow \frac{1}{3}(6\cos \theta-\sqrt{6}+2\sqrt{3})(\sqrt{3}-3\cos\theta)^2(6\cos\theta+\sqrt{6}+2\sqrt{3})\ge 0$$
ซึ่งจริงจาก $\cos\theta>0$ เเละสมการเกิดเมื่อ $\cos\theta=1/\sqrt{3}$ ส่วนของเส้นตรง $l=t\le \sqrt{2/3}$
ปล.Tokio University นี่หมายถึง The University of Tokyo(Tokyo Daigaku) หรือป่าวครับ

[Thgx0312555]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ จูกัดเหลียง

$$\frac{6\cos\theta\sqrt{1-\cos^2\theta}-\sqrt{2}}{3\cos \theta}\le \sqrt{\frac{2}{3}}$$

ทำยังไงถึงได้ตรงนี้ครับ

[Memphis]

ข้อ 5 ค่ะ


กำหนดให้เมทริกซ์ A= $\pmatrix{a & b \\ c & d}$ สอดคล้องกับเงื่อนไข D ดังต่อไปนี้:

สมาชิก a,b,c,d เป็นจำนวนเต็ม และคู่อันดับ (0,0), (a,b), (a+c,b+d), (c,d) เป็นจุดบนสี่เหลี่ยมด้านขนานที่มีพื้นที่ = 1.

ให้ B= $\pmatrix{1 & 1 \\ 0 & 1}$ จงตอบคำถามดังต่อไปนี้:

(1) เมทริกซ์ BA และ $B^{-1} A$ สอดคล้องกับเงื่อนไข D หรือไม่.

(2) ถ้าเมทริกซ์ C=0, เมื่อทำการคูณเมทริกซ์ A ด้วยเมทริกซ์ B หรือเมทริกซ์ $B^{-1}$ เมทริกซ์ลัพธ์จะมีค่าเป็นหนึ่งในเมทริกซ์ดังต่อไปนี้เท่านั้น

$\pmatrix{1 & 0 \\ 0 & 1}$ $\pmatrix{-1 & 0 \\ 0 & 1}$ $\pmatrix{1 & 0 \\ 0 & -1}$ $\pmatrix{-1 & 0 \\ 0 & -1}$

(3) ให้ $\left|\,a\right| \geqslant \left|\,c\right| > 0$ จงพิสูจน์ว่า เมทริกซ์BA หรือ เมทริกซ์$B^{-1} A$ ในรูปของ $\pmatrix{x & y \\ z& w}$ , สอดคล้องกับอสมการดังกล่าว $\left|\,x\right| +\left|\,z\right| < \left|\,a\right| + \left|\,c\right|$