โจทย์บางข้อของกสพท.ปี2553

[tongkub]

7. กำหนด $A$ เป็นเมทริกซ์ $3x3$ ที่มี $det(A) = 2$ จงหา $det(adj(adj(A)))$

$= (det(adj(A))^{3-1} = (det(adj(A)))^2 = ((det(A)^{3-1}))^2 = detA^4 = 2^4 = 16$

8. กำหนด A เป็นเมทริกซ์ $n\times n$ โดยที่มีสมาชิกเป็นจำนวนตั้งแต่ $1$ ถึง $n^2 $ โดยที่ไม่มีจำนวนซ้ำและมีผลบวกแนวทแยงและหลักเท่ากัน
จงหา $det(A)$ เมื่อ $A$ มีสมาชิกแนวทแยงเป็น $2,5,8$

เหมือนเล่นตอนเด็กๆเลยครับ magic box โดยขอแทน n = 3

$\bmatrix{2 & 7 & 6 \\ 9 & 5 & 1 \\ 4 & 3 & 8} $ หา det ได้ -80

[tongkub]

12. ให้ $a_1,a_2,a_3,...,a_6 $เป็นรากที่$ 7 $ของ $1$ ที่ไม่ใช่ $0$
จงหา $(1-a_1)(1-a_2)(1-a_3)(1-a_4)(1-a_5)(1-a_6)$

เดี๋ยวดึกๆมาพิมให้ครับเยอะมาก แต่ผมได้คำตอบคือ 7 ครับ

13. กำหนดให้ $(pvq) v (rΛs) v (t→u) v (v↔w)$ เป็นประพจน์ จงหาว่ามีกี่กรณีที่ประพจน์นี้มีค่าความจริงเป็นเท็จ

ทุกวงเล็บต้องเท็จหมด ได้เท่ากับ

$(1 \times 1) \times ( 3 )\times (1\times 1) \times (2)$ = 6 วิธีครับ

ถ้าข้อไหนผิดช่วยชี้แนะด้วยนะครับ (ซึ่งก็น่าจะเกือบทุกข้อ)

[กิตติ]

ข้อ2....ผมยังคิดไม่ออก ถ้าเป็นลำดับเรขาคณิต
ข้อ5.....ก็ยังหืดขึ้นคอ ไม่ไปไหนเลย5555
รอผู้เยี่ยมยุทธ์มาคลี่คลายปริศนา

[หยินหยาง]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ tongkub

12. ให้ $a_1,a_2,a_3,...,a_6 $เป็นรากที่$ 7 $ของ $1$ ที่ไม่ใช่ $0$ ต้องเปลี่ยนเป็น ไม่ใช่ 1
จงหา $(1-a_1)(1-a_2)(1-a_3)(1-a_4)(1-a_5)(1-a_6)$

เดี๋ยวดึกๆมาพิมให้ครับเยอะมาก แต่ผมได้คำตอบคือ 9 ครับ

13. กำหนดให้ $(pvq) v (rΛs) v (t→u) v (v↔w)$ เป็นประพจน์ จงหาว่ามีกี่กรณีที่ประพจน์นี้มีค่าความจริงเป็นเท็จ

ทุกวงเล็บต้องเท็จหมด ได้เท่ากับ

$(1 x 1) \times ( 16 - 1 )\times (1\times 1) \times (2)$ = 30 วิธีครับ

ถ้าข้อไหนผิดช่วยชี้แนะด้วยนะครับ (ซึ่งก็น่าจะเกือบทุกข้อ)

เข้ามาบอกเฉยๆ ไม่ได้มาทำเพราะไม่ใช่ผู้เยี่ยมยุทธ์ รอดูผู้อาวุโสมาโซ้ยดีกว่า เด็กๆได้แต่ตีตั๋วนั่งรอ
ข้อ 12 ต้องเปลี่ยนตามที่ว่าครับเพราะไม่ต้องบอกก็ได้ครับว่ารากที่ 7 ของ 1 ไม่ใช่ 0 เพราะมันไม่ใช่อยู่แล้ว
ข้อ 13 โจทย์ที่รู้มาไม่ตรงครับ
ข้อ 6 สมการวงกลมเครื่องหมายกับตัวเลขไม่ตรง
ข้อ 2 ต้องเป็นลำดับเลขคณิต
แค่นี้ก่อน เดี๋ยวกลัวโดนแซว

[กิตติ]

ข้อ 2 ต้องเป็นลำดับเลขคณิต

ถ้าเป็นอย่างที่ท่านหยินหยางว่า น่าจะออก ผมนั่งทำมาหลายรอบมันก็ติดอีรุงตุงนัง ยังนึกอยู่ว่าใครกันแต่งข้อสอบบอกมาให้เป็นผลหารของ$log$ แถมยังต้องแก้สมการ$log$ยกกำลังสอง คิดแต่ว่าความรู้ตัวเองยังฟื้นไม่พอ ดีนะได้ซือแป๋มาแจ้งว่าโจทย์ไม่น่าจะสมบูรณ์ เดี๋ยวลองทำอีกรอบ

แล้วข้อ 5 ซือแป๋ว่ายังไงผมหาทางเชื่อมจาก $p(2)$ ไปหา $P(3)$ ไม่ออก ถ้าหาได้ข้อนี้คงเห็นคำตอบรางๆ ซือแป๋ฮิ้นหน่อยได้ไหมครับ...

[หยินหยาง]

ข้อ5 ฮิ้นหรือครับ หาว่าสัมประสิทธิ์ในสมการพหุนามเป็นอะไรได้บ้างโดยใช้เงื่อนไขจากโจทย์ครับ เพื่อหาสมการพหุนามที่ว่าครับ
ฮิ้นอย่างนี้ใช่มั้ยครับ คงไม่ต้องถึงขนาดเฮือกมั้งครับ

[Keehlzver]

อยากเข้ามาบอกว่าข้อ 5 รู้สึกจะมีเงื่อนไขตกไป โจทย์จะกำหนดมาว่า $P$ ของจำนวนเต็มอะไรซักอย่างมาให้ อาจจะเป็น $P(2)=-7$ มั้งครับ ถ้าผมจำไม่ผิด


ว่าเเต่ถ้าไม่ใช่ท่านซือเเป๋ Hint ได้หรือเปล่าครับ?

สมมติให้ $P(x)=a_{n}x^n+...+a_1x+a_0$ เเล้วเข้าสมการเทียบสัมประสิทธิ์ จะได้ $P(x)=1-x^3$ เป็นคำตอบ

[กิตติ]

ได้สิครับ ไม่ต้องเกรงใจครับ พอดีเห็นท่านซือแป๋เข้ามาเลยแอบขอเคล็ดวิชาไปขบคิดแก้ปริศนาเอง
ไม่ว่าโจทย์ข้อไหนถ้ามีใครอยากแชร์มุมมองการแก้โจทย์ ผมยินดีมากครับ ถือว่าเป็นการเปิดหูเปิดตา
ผมจะได้ไม่เป็นกบในกะลา

[หยินหยาง]

ผมฮิ้น ให้แล้ว เหลือ แต่เฮือก ครับ
#22 ทำไมถึงคิดว่ามีเงื่อนไขที่ตกไปละครับ
โจทย์มันสนุกตรงที่มันท้าให้คิด แล้วคิดเหมือนจะออก นี่แหละครับ

[tongkub]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ หยินหยาง

เข้ามาบอกเฉยๆ ไม่ได้มาทำเพราะไม่ใช่ผู้เยี่ยมยุทธ์ รอดูผู้อาวุโสมาโซ้ยดีกว่า เด็กๆได้แต่ตีตั๋วนั่งรอ
ข้อ 12 ต้องเปลี่ยนตามที่ว่าครับเพราะไม่ต้องบอกก็ได้ครับว่ารากที่ 7 ของ 1 ไม่ใช่ 0 เพราะมันไม่ใช่อยู่แล้ว
ข้อ 13 โจทย์ที่รู้มาไม่ตรงครับ
ข้อ 6 สมการวงกลมเครื่องหมายกับตัวเลขไม่ตรง
ข้อ 2 ต้องเป็นลำดับเลขคณิต
แค่นี้ก่อน เดี๋ยวกลัวโดนแซว

ข้อสอบเขาก็ออกดีนะครับ ไม่รู้จะปิดกันทำไม แต่ผมว่าข้อ 13 ก็ผิดดีหน่อยนะครับ เหมือนได้โจทย์ใหม่อีกข้อ

ข้อ 9 นะครับ

โจทย์ต้องการหา

$(1 - cis\frac{2\pi }{7})(1 - cis\frac{4\pi }{7})(1 - cis\frac{6\pi }{7})(1 - cis\frac{8\pi }{7})(1 - cis\frac{10\pi }{7})(1 - cis\frac{12\pi }{7})$

จับคู่ คูณกัน เช่น $2\pi$ คูณกับวงเล็บ $12\pi$ , $4\pi$ คูณกับ $10\pi$

ได้เท่ากับ $( 2 - 2cos\frac{2\pi }{7})( 2 - 2cos\frac{4\pi }{7})( 2 - 2cos\frac{6\pi }{7})$

คูณกระจายทั้ง 3 วงเล็บได้

$8(1 - cos\frac{6\pi}{7} - cos\frac{2\pi}{7} + cos\frac{2\pi}{7}cos\frac{6\pi}{7} - cos\frac{4\pi}{7} + cos\frac{4\pi}{7}cos\frac{6\pi}{7} + cos\frac{2\pi}{7}cos\frac{4\pi}{7} - cos\frac{2\pi}{7}cos\frac{4\pi}{7}cos\frac{6\pi}{7}) $

จัดรูปใช้ sum


$8(1 - cos\frac{6\pi}{7} - cos\frac{2\pi}{7} + \frac{cos\frac{8\pi}{7} + cos\frac{4\pi}{7}}{2} - cos\frac{4\pi}{7} + \frac{cos\frac{10\pi}{7} + cos\frac{2\pi}{7}}{2} + \frac{cos\frac{6\pi}{7} + cos\frac{2\pi}{7}}{2} - cos\frac{2\pi}{7}cos\frac{4\pi}{7}cos\frac{6\pi}{7}) $

เราจะพบว่ามันตัดกันได้หมดเป็น

$8(1 - cos\frac{2\pi}{7}cos\frac{4\pi}{7}cos\frac{6\pi}{7}) $

แต่ $cos\frac{6\pi}{7} = -cos\frac{\pi}{7}$

$8(1 -(- cos\frac{2\pi}{7}cos\frac{4\pi}{7}cos\frac{1\pi}{7})) $

มาหาค่าของ $ cos\frac{2\pi}{7}cos\frac{4\pi}{7}cos\frac{1\pi}{7}))$

$x = cos\frac{2\pi}{7}cos\frac{4\pi}{7}cos\frac{1\pi}{7}$

$2sin{\frac{1\pi}{7}}x = 2sin\frac{1\pi}{7}cos\frac{2\pi}{7}cos\frac{4\pi}{7}cos\frac{1\pi}{7})$

$2sin{\frac{1\pi}{7}}x = \frac{1}{4}\times sin\frac{8\pi}{7}$

$ x = \frac{-1}{8}$

เ้อากลับไปแทน $8(1 -(- x)) $ = $8(1+x) = 8(1 + \frac{-1}{8})$ = 7 ครับ

[nooonuii]

ข้อ 12 แบบไม่ต้องกระจาย

$x^6+x^5+x^4+x^3+x^2+x+1=(x-a_1)(x-a_2)(x-a_3)(x-a_4)(x-a_5)(x-a_6)$

แทน $x=1$ จบครับ

[กิตติ]

เห็นด้วยกับคุณNooNuii...
ผมมองสมการเป็น$x^7-1 = (x-1)(x^6+x^5+x^4+x^3+x^2+x+1)=0$ ถ้าโจทย์บอกว่ารากที่ไม่ใช่หนึ่ง
ก็โซ้ยตามที่คุณNoonuiiทำให้ดูคือแทนค่า$x=1$

โจทย์ข้อ5....สำหรับผม ผมว่ายากจริงๆ ผมกินยาก

[Keehlzver]

จริงๆเเล้ว ท่านซือเเป๋เคยโพสโจทย์ข้อนี้เอาไว้มีเงื่อนไขที่ว่า $P(\frac{1}{2})=\frac{7}{8}$ ซึ่งจะได้ข้อสรุปมาว่า $P(x)=1-x^3$ เป็นคำตอบครับ

เเต่หากว่าตกเงื่อนไขดังกล่าวไป จะมีฟังก์ชันพหุนามหลายๆตัวที่สอดคล้องครับ เช่น $P(x)=1-x^6$ ก็ใช้ได้ เท่าที่ผมลองดู $P(x)=1-x^{n}$ ยังเป็นพหุนามที่สอดคล้องเลยครับ (ผมยังไม่ได้ลอง Check ดูว่า $n$ สามารถเป็นได้ถึงจำนวนจริงเลยหรือเปล่า เเต่คิดว่าน่าจะได้ครับ)

[tongkub]

ขอบคุณครับ ผมนี่โง่จริงๆ ทำข้อ 12 ตั้งหลายบรรทัด วิธีคุณ noonui แปปเดียวเองครับ ส่วนข้อ 5 เคยมีคนเอาถามแล้วครับ ตาม link นี้ครับ http://www.mathcenter.net/forum/showthread.php?t=9803 แต่ผมอ่านเฉลยไม่เ้ข้าใจเลยครับ รบกวนช่วยอธิบายได้ไหมครับ

[กิตติ]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ not11

$สมมติว่า p(x) = A + Bx + Cx^2 + ... ; A,B,C,... \in I$
$ดังนั้น p(\frac{1}{x}) = A + B\frac{1}{x} + C\frac{1}{x^2} + ...$
$จะได้ P(x)P(1/x) = P(x)+P(1/x)$
$ (A + Bx + Cx^2 + ...)(A + B\frac{1}{x} + C\frac{1}{x^2} + ...) = (A + Bx + Cx^2 + ...) + (A + B\frac{1}{x} + C\frac{1}{x^2} + ...)$
$พิจารณาสัมประสิทธิ์พจน์ที่ไม่มี x $

$A^2 + B^2 + C^2 + ... = 2A $
$นั่นคือ A^2 \leqslant 2A$
$จะได้ช่วง A คือ [0,2] $
$กรณี A=0$
$>> จะได้ P(x) = 0 ใช้ไม่ได้$
$ กรณี A=2$
$>> จะได้ B^2 + C^2 + ... = 0 >>> \therefore B=C=...=0$
$>> จะได้ P(x) = 2 ใช้ไม่ได้$

$\therefore A=1$
$แทนค่าในสมการ$
$1 + B^2 + C^2 + ... = 2 >>> B^2 + C^2 + ... = 1$
$นั่นคือ มีตัวแปรหนึ่งตัว=1,-1 นอกนั้น=0$
$\therefore P(x) = 1 \pm x^n$
$แทน x = \frac{1}{2} ; p(\frac{1}{2}) = 1 \pm (\frac{1}{2})^n >>> \frac{7}{8} = 1 - (\frac{1}{2})^n เท่านั้น$
$(\frac{1}{2})^n = \frac{1}{8} $
$\therefore n=3 $
$\therefore P(x) = 1 - x^3 โดย x \not= 0$
$ P(1) + P(2) + P(3) + P(4) + P(5) = 5 - ( 1 + 8 + 27 + 64 + 125 ) = -220 $

ลองอ่านช้าๆแล้วคิดตาม เงื่อนไขที่บอกว่าสัมประสิทธิ์เป็นจำนวนเต็มนั้น เป็นตัวล็อคความน่าจะเป็นของคำตอบ ต้องคิดซ้อนอีกชั้น ผมว่าโจทย์ข้อนี้แต่งได้สวยมากเลยครับ