โจทย์บางข้อของกสพท.ปี2553

[หยินหยาง]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ Keehlzver

จริงๆเเล้ว ท่านซือเเป๋เคยโพสโจทย์ข้อนี้เอาไว้มีเงื่อนไขที่ว่า $P(\frac{1}{2})=\frac{7}{8}$ ซึ่งจะได้ข้อสรุปมาว่า $P(x)=1-x^3$ เป็นคำตอบครับ

เเต่หากว่าตกเงื่อนไขดังกล่าวไป จะมีฟังก์ชันพหุนามหลายๆตัวที่สอดคล้องครับ เช่น $P(x)=1-x^6$ ก็ใช้ได้ เท่าที่ผมลองดู $P(x)=1-x^{n}$ ยังเป็นพหุนามที่สอดคล้องเลยครับ (ผมยังไม่ได้ลอง Check ดูว่า $n$ สามารถเป็นได้ถึงจำนวนจริงเลยหรือเปล่า เเต่คิดว่าน่าจะได้ครับ)

ถ้า $P(x)=1-x^6$ ใช้ได้ตามที่ว่า ลองแทน $x = \frac{1}{2}$ ดูซิครับ ว่าได้ $\frac{7}{8}$ ตามเงื่อนไขโจทย์หรือเปล่า

ปล.หมายถึงโจทย์ของคุณกิตติที่โพสต์ใช่มั้ยครับ
ไม่ต้องเช็คว่า n เป็นจำนวนจริงได้หรือเปล่า เพราะไม่งั้นจะไม่เป็นสมการพหุนามตามเงื่อนไขของโจทย์

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ กิตติ

ลองอ่านช้าๆแล้วคิดตาม เงื่อนไขที่บอกว่าสัมประสิทธิ์เป็นจำนวนเต็มนั้น เป็นตัวล็อคความน่าจะเป็นของคำตอบ ต้องคิดซ้อนอีกชั้น ผมว่าโจทย์ข้อนี้แต่งได้สวยมากเลยครับ

อยากจะบอกว่าเหมือนที่ผมเคยเฉลยไว้หลังช่วงที่มีการสอบเสร็จ ทั้งขั้นตอนและคำอธิบายแทบจะเหมือนฝาแฝดเลยก็ว่าได้ แต่ดูจากประวัติคนโพสต์แล้วไม่รู้จักกันครับ ตอนที่ดูกระทู้นี้ ช่วงนั้นผมก็พยายามนึกว่าผมรู้จักมั้ยแต่ก็นึกไม่ออก จนลืมไปแล้ว ยังขุดขึ้นมาเจอ นี่แหละเสน่ห์ของการค้นหากระทู้เก่ามาอ่าน

[Keehlzver]

ผมหมายถึงอย่างคุณหยินหยางว่าครับ ถ้าตกเงื่อนไน $P(\frac{1}{2})=\frac{7}{8}$ มันจะมีพหุนามหลายพหุนามที่สอดคล้องกับ $P(x)P(\frac{1}{x})=P(x)+P(\frac{1}{x})$ ที่ตอนเเรกคุณกิตติโพสโจทย์ไว้ ผมถึงได้ท้วงไว้ก่อนไงครับ พอเพิ่มเงื่อนไขที่ว่าไป มันก็จะบังคับว่า $P(x)=1-x^3$ เท่านั้น

[กิตติ]

ช่วงบ่ายไม่ได้เข้ามาเพราะเนตล่มที่โรงบาล
ผมพิมพ์ตามกระทู้ในพันทิพ แต่ซือแป๋ได้เขียนโจทย์ข้อนี้ไว้ในmathกสพท.ให้ผมลองเอาไปทำแล้ว

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ หยินหยาง

จะ
ท่านกิตติอยากฝึกปรือโจทย์ผมช่วยส่งเสริมให้ 1 ข้อ ไปคิดเล่นๆครับ
1. ให้ $p(x)$ เป็นพหุนามที่มีสัมประสิทธิ์เป็นจำนวนเต็มซึ่งมีสมบัติที่ว่า $p(x)p(\frac{1}{x}) = p(x) + p(\frac{1}{x})$
ถ้า $p(\frac{1}{2}) = \frac{7}{8}$ จงหาค่าของ $p(1) + p(2) + p(3) + p(4) + p(5)$

[Siren-Of-Step]

-35 อ้ะป่าวครับ

[MiNd169]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ Keehlzver

ผมหมายถึงอย่างคุณหยินหยางว่าครับ ถ้าตกเงื่อนไน $P(\frac{1}{2})=\frac{7}{8}$ มันจะมีพหุนามหลายพหุนามที่สอดคล้องกับ $P(x)P(\frac{1}{x})=P(x)+P(\frac{1}{x})$ ที่ตอนเเรกคุณกิตติโพสโจทย์ไว้ ผมถึงได้ท้วงไว้ก่อนไงครับ พอเพิ่มเงื่อนไขที่ว่าไป มันก็จะบังคับว่า $P(x)=1-x^3$ เท่านั้น

ถ้าเป็น $P(x)=1-x^3$ เท่านั้น

แล้วทำไม P(1) = 2 ล่ะครับ

[nooonuii]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ MiNd169

ถ้าเป็น $P(x)=1-x^3$ เท่านั้น

แล้วทำไม P(1) = 2 ล่ะครับ

$P(1)=0$ ได้ครับ

เพราะ $P(1)^2=2P(1)$

[MiNd169]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ nooonuii

$P(1)=0$ ได้ครับ

เพราะ $P(1)^2=2P(1)$

ขอบคุณครับ ผมเผลอตัด P(1) ออกซะหนิ

[Jaez]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ กิตติ

ข้อ1
ให้$log_32=M$
$A=log_{18}12 =\frac{2log_32+1}{log_32+2} =\frac{2M+1}{M+2} $

$B=log_{18}12 =\frac{1+2log_62}{1+2log_63} $
$log_62=\frac{log_32}{log_32+1} =\frac{M}{M+1} $
$log_63=\frac{1}{log_32+1} =\frac{1}{M+1} $
ดังนั้น$B=\frac{3M+1}{M+3} $

$1-AB=\frac{(M+2)(M+3)-(2M+1)(3M+1)}{(M+2)(M+3)} $
$A-B=\frac{(2M+1)(M+3)-(3M+1)(M+2)}{(M+2)(M+3)} $

$\frac{1-AB}{A-B}=5 $
ตอบ $5$

รบกวนช่วยอธิบายหน่อยได้ไหมคะ ว่า $A=log_{18}12 =\frac{2log_32+1}{log_32+2}$ และ $B=log_{54}24=\frac{3M+1}{M+3}$ ได้ยังไง ($B=log_{54}24$ ไม่ใช่หรอคะ) ลองทำแล้วไม่ได้อ่ะคะ
ขอบคุณล่วงหน้าสำหรับคำตอบคะ

[กิตติ]

จาก$log_ab=\frac{log_ca}{log_cb} $

$log_{18}12=\frac{log_312}{log_318}=\frac{log_34+log_33}{log_39+log_32} $
$=\frac{2log_32+1}{2+log_32}$
$=\frac{2M+1}{M+2} $

$log_{54}24=\frac{log_624}{log_654}=\frac{log_66+log_64}{log_66+log_69} $
$=\frac{1+2log_62}{1+2log_63} $

[LightLucifer]

แวะมาบอกว่าอันนี้ไม่น่าใช่ปี 2553 ครับ

[Jaez]

ตายตอนจบอ่ะคะ ช่วยดูให้หน่อยคะ ทำต่อไม่เป็นอ่ะคะ ^^

$\frac{M^2-5}{M^2}$

[กิตติ]

นอนดึกเหมือนกันนะครับ เข้ามาตอนตีสาม....
ติดตรงไหนครับตรงหาคำตอบหรือเปล่าครับช่วงท้าย
ลองกระจายดีๆ เช็คสัมประสิทธิ์ให้ดีอีกทีแล้วกันครับ น่าจะออกนะ

[Jaez]

ได้แล้วคะ เช็คตัวเลขไม่ดีเอง ขอบคุณคะ ^^

[Amankris]

AnotherSolution

$A=log_{18}12$

$5-A=log_{18}(\frac{18^5}{12})=log_{18}(2^3\cdot 3^9)=3log_{18}54$


$B=log_{54}24$

$5+B=log_{54}(54^5\cdot 24)=log_{54}(2^8\cdot 3^{16})=8log_{54}18$


$(5-A)(5+B)=24$

$1-AB=5A-5B$

$\frac{1-AB}{A-B}=5$

[Jaez]

ขอบคุณคุณ Amankris ที่เอาอีกวิธีมาให้ ^^

เพิ่งกลับมาจากต่างจังหวัดคะ มีข้อสงสัยตามเคย

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ tongkub

12. ให้ $a_1,a_2,a_3,...,a_6 $เป็นรากที่$ 7 $ของ $1$ ที่ไม่ใช่ $1$
จงหา $(1-a_1)(1-a_2)(1-a_3)(1-a_4)(1-a_5)(1-a_6)$

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ กิตติ

เห็นด้วยกับคุณNooNuii...
ผมมองสมการเป็น$x^7-1 = (x-1)(x^6+x^5+x^4+x^3+x^2+x+1)=0$ ถ้าโจทย์บอกว่ารากที่ไม่ใช่หนึ่ง
ก็โซ้ยตามที่คุณNoonuiiทำให้ดูคือแทนค่า$x=1$

รากที่ $7$ ของ $1$ ที่ไม่ใช่ $1$ คือ อันนี้ใช่ปะคะ $\sqrt[7]{1} \not= 1$ แล้วสมการของคุณ กิตติ และคุณ Noonuii มาจากไหนหรอคะ แอบงง