Derivative

[B บ ....]

ช่วยใบ้หน่อยครับ งง ไม่มีไอเดียครับ คือ นึกภาพพอออก แต่ให้พรูฟนี่ ไม่มีไอเดียเลยครับ
1. Assume that $I \subseteq \mathbb{R}$ is an open interval and $f''(x) \geq 0$ for all $x \in I$. If $c \in I$, show that the part of the graph $f$ on $I$ is never below the tangent line to the graph at $(c,f(c))$
2. Let $f : [0,1] \rightarrow \mathbb{R}$ be continuous on $[0,1]$ and differentiable on $(0,1)$.Suppose that $f(0)=0$ and $f(1)=1$. Show that there are distinct $c_1,c_2 \in I$ such that $f'(c_1)f'(c_2)=1$.
ข้อ 3 นี่พอมีไอเดีย คล้ายๆว่าอาจจะต้องใช้ Mean value theorem สร้างฟังก์ชัน $f(x)$ แต่ยัง งงๆครับ เริ่มไม่ถูก ต้องทำ 2 รอบมั้ย เพราะมันลิมิตซ้าย ขวา เลย
3. Let $c \in (a,b), f:[a,b] \rightarrow \mathbb{R}$ be continuous on $[a,b]$ and diferrentiable on $(a,c)$ and $(c,b)$. Let $\lim_{x \rightarrow c^{-}}f'(x) = l_1, \lim_{x \rightarrow c^{+}} f'(x)=l_2$ for some $l_1,l_2 \in \{\infty,-\infty\} \cup \mathbb{R}$. Then $f'(c)$ exists if and only of $l_1=l_2$.

[nooonuii]

1. ลองค้นคำว่า convex function ครับ จะมีพิสูจน์โจทย์ข้อนี้อยู่

2. no idea

3. ขาไปชัด ส่วนขากลับ ยังไม่ได้คิดละเอียดแต่คิดว่าไอเดียคือพิสูจน์ว่า $f'(c)=l_1$ โดยการไล่นิยามของลิมิต

[gools]

ข้อสองลองใช้ MVT กับฟังก์ชัน $(f(x))^2-x^2$ ดูครับ ถ้าติดตรงไหนจะมาบอกเพิ่ม

[B บ ....]

ครับ จะลองพยายามดูครับ ถ้าไม่ไหวจะขอคำใบ้ต่อ

[B บ ....]

อืม ข้อ 2 นี่ ยังไม่เก็ทมากครับ ผมทำแบบนี้
Suppose that the condition holds. Since $f(0)=0$ and $f(1) = 1$,
Define $g: [0,1] \rightarrow \mathbb{R}$ by $$g(x) = (f(x))^2 - x^2.$$ Then $g$ is differentiable on $(0,1)$ and continuous on $[0,1]$. Since $g(0) = 0 = g(1)$, by MVT, we have $$2f'(a)f(a) - 2a = 0$$ for some $a \in (0,1).$ We have $f(a) \neq 0$ since $a \neq 0$. So $f'(a) = \frac{a}{f(a)}$.
Case 1 $f(a) = -a$, then by applyin MVT on $(0,a)$ we have $$(a-0)f'(y_1) = (f(a) - f(0)) = -a-0$$
Since $y_1 \in (0,a)$, $y_1 \neq a$ and $f'(y_1)f'(a) = (-1)(-1) =1$.
Case 2 $f(a) = a$, then by applying MVT on $(0,a)$ and $(a,1)$, we have $$(a-0)f'(c_1) = (f(a) - f(0)) = a-0, \ \ (1-a)f'(c_2) = (f(1)-f(a)) = 1-a.$$
Since $a \neq 0,1, $ we have $f'(a_1) = 1= f'(a_2)$ where $a_1 \in (0,a), a_2 \in (a,1)$.
Case 3 $f(a) \neq a, -a$. We will find $k \in (0,1)$ such that $f'(k) = \frac{f(a)}{a}$. ... no idea ช่วยใบ้ต่อหน่อยครับ วาแต่มาแนวนี้โอมั้ยครับ
ปล. ข้อ 1 มันแทบจะเป็นนิยาม convex function เลย บางอันก็วาดรูปแสดงให้ดู ซึ่งก็พอนึกรูปออก กำลังพยายามพิสูจน์ครับ ถ้าช่วนแนะนำ referrence หรือแนวๆ พิสูจน์ได้จะขอบคุณมากๆเลยครับ พยายามคิดๆๆ ค้นๆละ ไม่ออก ไ่เจอพรูฟ เจอแต่แบบนิยาม T^T
ขอบคุณมากคราบ

[gools]

ใกล้ละครับ เราได้ว่า $f'(k)=\frac{f(a)}{a} \neq 0$ ดังนั้น $\frac{a}{f(a)}=\frac{1}{f'(k)}=f'(a)$

[B บ ....]

แต่เราจะหา $k$ ที่ทำให้ $f'(k) = \frac{f(a)}{a} $ ยังไงดีครับ นึกไม่ออกว่า ทำไมถึงมี $k$ แบบนั้น (ติดหา $k$ ตรง เคส 3 อ่ะครับ ช่วยใบ้นิดนึง ผมเก็ทช้าาาา ขนาดใบ้แล้ว คิดจนมึนๆ ยังไม่ออก ���� อนาลิซิสสสสสส โอ๊ยยย)

[gools]

สังเกตว่า $\frac{f(a)}{a}=\frac{f(a)-f(0)}{a-0}$

[B บ ....]

Applying MVT on $(0,a)$, then there is $k \in (0,a)$ $$ (a-0)f'(k) = f(a)-f(0)=f(a).$$ Since $f(a) \neq a,-a$, $k \neq a$ and $f'(k)f'(a) =1$. The proof is done. โอโห ซูฮกเลย ครับ คิดออกได้ไงว่าต้องใช้ $(f(x))^2-x^2$ ขอบคุณมากคราบบบบ ที่ช่วย