พี่ๆทุกท่าน ช่วยดูบทวิเคราะห์นี้หน่อยครับ !!

[dream's railway]

บทวิเคราะห์นี้ผมเขียนขึ้นมา เพราะความอยากรู้สูตรในการหาจุดที่เส้นตรงและวงกลมสัมผัสกันครับ (เพราะครูไม่ได้สอนอ่าคับ แหะๆ)
คือ ผมอาจไม่ใช่คนแรก ที่คิดสูตรมาได้ และผมก็ไม่เคยเห็นหน้าตาของมันด้วย
แต่ที่ผมหามาได้ ผมก็ลองคิดเอง โดยใช้สมบัติทางเรขาคณิตวิเคราะห์มาช่วยครับ
ยังไงพี่ๆ ช่วยพิจารณาด้วยนะครับ ว่าที่ผมคิดได้เนี่ย มันถูกต้องรึเปล่า ><!


บทวิเคราะห์การหาจุดที่เส้นตรงสัมผัสกับวงกลม


ให้เส้นตรง $L: Ax+By+C = 0$ สัมผัสกับวงกลม $(x-h)^2 + (y-k)^2 = r^2$ ที่จุด $(p, q)$

Slope(L) = $\frac{\displaystyle{-A}}{\displaystyle{B}}$

Slope ของรัศมีวงกลมที่ลากมาตั้งฉากกับเส้นสัมผัสที่จุด $(p, q)$ (กำหนดเป็นเส้นตรง $R$) = $\frac{\displaystyle{B}}{\displaystyle{A}}$







หาสมการของเส้นตรง $R$

1) ผ่านจุด $(h, k)$
$m(x - x1) = y - y1$
$\frac{\displaystyle{B}}{\displaystyle{A}}(x – h) = y – k$
$Bx – Bh = Ay – Ak$
$Bx – Ay = Bh - Ak$ ........(1)

2) ผ่านจุด $(p, q)$
$m(x - x1) = y - y1$
$\frac{\displaystyle{B}}{\displaystyle{A}}(x – p) = y – q$
$Bx – Bp = Ay – Aq$
$Bx – Ay = Bp – Aq$ ……(2)

(1) = (2)

$Bh – Ak = Bp – Aq$
$Bp – Bh = Aq – Ak$
$B(p – h) = A(q – k) $

ดังนั้น เราได้สมการเป็น

$$B(p – h) = A(q – k) $$

กล่าวได้อีกนัยหนึ่งว่า
$$(p – h) = \frac{\displaystyle{A}}{\displaystyle{B}}(q – k) $$

และ

$$(q – k) = \frac{\displaystyle{B}}{\displaystyle{A}}(p – h)$$

จากสมการทั้งสองข้างต้น เมื่อยกกำลังสอง ได้เป็น
$$(p – h)^2 = \frac{\displaystyle{A^2}}{\displaystyle{B^2}}(q – k)^2 $$

และ

$$(q – k)^2 = \frac{\displaystyle{B^2}}{\displaystyle{A^2}}(p – h)^2$$

และจากสมการวงกลม ที่จุด $(x, y) = (p, q)$

$r^2 = (x-h)^2 + (y-k)^2 $
$r^2 = (p-h)^2 + (q-k)^2$

แทน $(q – k)^2 = \frac{\displaystyle{B^2}}{\displaystyle{A^2}}(p – h)^2 $ ได้เป็น

$r^2 = (p-h)^2 + \frac{\displaystyle{B^2}}{\displaystyle{A^2}}(p-h)^2$
$r^2 = (1+\frac{\displaystyle{B^2}}{\displaystyle{A^2}})(p-h)^2$ ………*



$r^2 = (p-h)^2 + (q-k)^2$

แทน $(p – h)^2 = \frac{\displaystyle{A^2}}{\displaystyle{B^2}}(q – k)^2 $ ได้เป็น

$r^2 = \frac{\displaystyle{A^2}}{\displaystyle{B^2}}(q – k)^2 + (q-k)^2$
$r^2 = (1 + \frac{\displaystyle{A^2}}{\displaystyle{B^2}})(q – k)^2$ ………*



ดังนั้น สรุปได้ดังนี้

ถ้าให้เส้นตรง $L: Ax+By+C = 0$ สัมผัสกับวงกลม $(x-h)^2 + (y-k)^2 = r^2$ ที่จุด $ (p, q) $

เราจะหา $p$ ได้จากสมการ
$$r^2 = (1+\frac{\displaystyle{B^2}}{\displaystyle{A^2}})(p-h)^2 ………***
$$
และหา $q$ ได้จากสมการ
$$r^2 = (1 + \frac{\displaystyle{A^2}}{\displaystyle{B^2}})(q – k)^2 ………***$$


***พิกัดจุด $(p, q)$ ที่ได้จากสมการทั้งสอง จะมี 2 คำตอบ ดังนั้น จึงต้องตรวจคำตอบโดยการนำพิกัดจุดทั้งสองคำตอบที่ได้มาแทนลงในสมการของเส้นตรง โดยแทน $x$ ในเทอมของ $p$ และแทน $y$ ในเทอมของ $q$ แล้วดูว่าพิกัดจุดใดที่ทำให้สมการเป็นจริง พิกัดนั้นก็จะเป็นคำตอบที่ถูกต้องครับ

*************************************************

บทวิเคราะห์ของผมมีเท่านี้แหละคราบบบ อิอิ

โปรดพิจารณาด้วยนะครับ

ด้วยมิตรภาพ.....

[nooonuii]

ควรแยกกรณีที่ $A=0$ หรือ $B=0$ ออกมาก่อนครับ เพราะสูตรที่ได้ใช้ไม่ได้กับสองกรณีนี้

[nooonuii]

หรือไม่ก็เขียนให้อยู่ในรูปนี้ครับ จะใช้ได้ทุกกรณี

$$(p-h)^2=\frac{A^2r^2}{A^2+B^2}$$ $$(q-k)^2=\frac{B^2r^2}{A^2+B^2}$$

ผมยังไม่ได้ตรวจสอบความถูกต้อง แต่เห็นสูตรแล้วคิดว่าไม่มีปัญหาครับ

[dream's railway]

ครับๆ แล้วผมจะลองกลับไปตรวจสอบใหม่
ขอบคุณพี่มากๆเลยนะครับ ><