ช่วยคิดหน่อยครับ

[math_lnw]

จงหาเศษที่ได้จากการหาร 1imath\+2\imath +3\imath .....+15\imath ด้วย 24
(\imathแทนแฟกทอเรียล)

[Julian]

พิจารณา $ 1! \ + \ 2! \ + \ 3! \ +...+ \ 15! หารด้วย 24 ว่ามันเท่ากับ $

= $ \frac{ 1 \ + \ 1\cdot 2 \ + \ 1\cdot 2\cdot 3 \ +...+ \ 1\cdot 2\cdot 3\cdot \cdot \cdot 15}{24} $

= $ \frac{ 2( \ 1 \ + \ 3 \ + \ 3\cdot 4 \ +...+ \ 3\cdot 4\cdot \cdot \cdot 15 \ ) }{24} \ + \ \frac{1}{24} $

= $ \frac{ \ 4 \ + \ 3\cdot 4 \ +...+ \ 3\cdot 4\cdot \cdot \cdot 15 )\ }{12} \ + \frac{1}{24} $

= $ \frac{ \ 3\cdot 4( \ 1 \ + ..+ \ 5\cdot 6\cdot \cdot \cdot 15 ) \ }{12} \ + \frac{4}{12} \ + \frac{1}{24} $

= $ ก้อนอะไรซักอย่าง \ + \ \frac{9}{24} $

ดังนั้น 1! + 2! + 3! + 4! +....+ 15! หารด้วย 24 เหลือเศษ 9

และจากข้อข้างบน เราอาจจะสรุปได้เลยว่า

1! +2! + 3! + 4! +....+ n! หารด้วย 24 เหลือเศษ 9 ทุกค่า n มากกว่าเท่ากับ 4

สำหรับวิธีของผมนั้นอาจจะดูยากกว่าของ Namikaze เนื่องจากวิธีนี้

จะสามารถปรับใช้กับจำนวนที่มีตัวประกอบเยอะๆและไม่น่าจะใช้วิธีแบบ Namikaze ได้

เช่น 960 ซึ่งมีตัวประกอบแบบมโหฬารเลยก็ว่าได้

[Namikaze]

ตั้งแต่ 3! + 4! +....+ 15! จะหาร 24 ลงทุกตัว
ดังนั้น จะได้ตอนแรกเป็น 1+(2x1)+(3x2x1) =1+2+6=9
เพราฉะนั้น24 หาร 9 เหลือเศษ 9
น่าจะตอบ 9 มั้งครับ

[Kira Yamato]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ Namikaze

ตั้งแต่ 3! + 4! +....+ 15! จะหาร 24 ลงทุกตัว
ดังนั้น จะได้ตอนแรกเป็น 1+(2x1)+(3x2x1) =1+2+6=9
เพราฉะนั้น24 หาร 9 เหลือเศษ 9
น่าจะตอบ 9 มั้งครับ

ผมว่ามันตั้งแต่ 4! นะครับ
แต่ไงๆก็ตอบ9