เพาร์เวอร์เซต

[aoy251918]

โจทย์บอกว่าจงแสดง เรายกตัวอย่างเซตแล้วหาเพาเวอร์เซตที่โจทย์กำหนดได้ป่าว หรือว่าต้องพิสูจน์ ช่วยอธิบายความสงสัย

[gon]

จงแสดงว่า กับ การพิสูจน์ว่า นั้นมีความหมายเหมือนกันครับ.

การยกตัวอย่างเพียงตัวอย่างเดียว แล้วสรุปว่า ในกรณีทั่วไป ก็เป็นจริงด้วยนั้น ใช้ไม่ได้ครับ

การยกตัวอย่างเพียงตัวอย่างเดียว จะใช้ได้เมื่อ เราต้องการยกตัวอย่างค้านว่า ข้อความที่ให้มานั้นไม่เป็นจริงเสมอไป แบบนี้ยกตัวอย่างเดียวก็ได้ครับ

ในที่นี้เราจะต้องทำการพิสูจน์ เพื่อแสดงว่า ไม่ว่าจะเป็นเซตใด ๆ ก็เป็นจริงเสมอ

ดังนั้นจึงต้องเขียนการพิสูจน์เป็นขั้นตอนครับ

ถ้าไม่เคยเห็นวิธีการพิสูจน์สมบัติต่าง ๆ ในเรื่องเซตมาก่อนเลย แนะนำว่าควรจะหาตัวอย่างที่เขียนการพิสูจน์ไว้ดูเป็นแนวทาง

หลักการของข้อนี้นั้น อยู่ตรงที่ทำความเข้าใจกับนิยามของสับเซต ว่าถ้าต้องการแสดงว่า เซต A เป็นสับเซต (หรือเซตย่อย) ของเซต B จะต้องทำอย่างไร

ซึ่งตามนิยามบอกว่า สำหรับ x ใด ๆ ถ้า x เป็นสมาชิกใด ๆ ของเซต A แล้ว x จะต้องเป็นสมาชิกของเซต B เสมอ

ถ้าเขียนในรูปตรรกศาสตร์ ก็อาจจะเขียนได้ว่า $$ A \subset B \iff \forall x [ x \epsilon A \Rightarrow x \epsilon B]$$

[aoy251918]

แล้วพิสูจน์ได้อย่างไร

[aoy251918]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ aoy251918

แล้วพิสูจน์ได้อย่างไร

ถูกหรือเปล่าค่ะ

[gon]

จากบรรทัดที่ 2 ไปบรรทัดที่ 3 ผมคิดว่ายังไม่ชัดครับ

ถ้าเป็นผมจะทำแบบนี้ครับ

ให้ $x \in A$ และ $y \in B$

ดังนั้น $\{x\} \in P(A)$ และ $\{y\} \in P(B)$

ดังนั้น $\{x\}, \{y\} \in P(A) \cup P(B)$


และจากที่ $x \in A$ และ $y \in B$

จะได้ $x, y \in A \cup B$

ดังนั้น $\{x\}, \{y\}, \{x, y\} \in P(A \cup B)$

จึงได้ว่า ถ้า $\{x\}, \{y\} \in P(A) \cup P(B)$ แล้ว $\{x\}, \{y\} \in P(A \cup B)$

จึงสรุปได้ว่า $P(A) \cup P(B) \subseteq P(A \cup B)$