Mathcenter Forum  

Go Back   Mathcenter Forum > คณิตศาสตร์มัธยมศึกษา > ปัญหาคณิตศาสตร์ ม. ต้น > ข้อสอบในโรงเรียน ม.ต้น
สมัครสมาชิก คู่มือการใช้ รายชื่อสมาชิก ปฏิทิน ค้นหา ข้อความวันนี้ ทำเครื่องหมายอ่านทุกห้องแล้ว

ตั้งหัวข้อใหม่ Reply
 
เครื่องมือของหัวข้อ ค้นหาในหัวข้อนี้
  #16  
Old 17 เมษายน 2009, 22:31
banker banker ไม่อยู่ในระบบ
เทพเซียน
 
วันที่สมัครสมาชิก: 24 มกราคม 2002
ข้อความ: 9,910
banker is on a distinguished road
Default

ข้อ 19 ตอบ 115 องศา

ไม่ทราบมีความเห็นเป็นอย่างอื่นหรือเปล่า (ผมอาจผิดก็ได้)


__________________
มาหาความรู้ไว้ติวหลาน
แต่หลานไม่เอาเลขแล้ว
เข้ามาทำเลขเอามันอย่างเดียว

ความรู้เป็นสิ่งเดียวที่ยิ่งให้ ยิ่งมีมาก


รู้อะไรไม่สู้ รู้จักพอ
(ยกเว้นความรู้ ไม่ต้องพอก็ได้ หาไว้มากๆแหละดี)
(แต่ก็อย่าให้มากจนท่วมหัว เอาตัวไม่รอด)
ตอบพร้อมอ้างอิงข้อความนี้
  #17  
Old 02 พฤษภาคม 2009, 10:42
Anonymous314's Avatar
Anonymous314 Anonymous314 ไม่อยู่ในระบบ
บัณฑิตฟ้า
 
วันที่สมัครสมาชิก: 16 มีนาคม 2008
ข้อความ: 546
Anonymous314 is on a distinguished road
Default

อ้างอิง:
Let $m,n$ be positive integers such that $\displaystyle{\frac{108}{997}<\frac{m}{n}<\frac{110}{999}}$.
Find the minimum value of $m+n$
Solution without approximation.
$$\frac{108}{997}<\frac{m}{n}<\frac{110}{999}\leftrightarrow \frac{999}{110}<\frac{n}{m}<\frac{997}{108}\leftrightarrow 9+\frac{9}{110}<\frac{n}{m}<9+\frac{25}{108}$$
We have $$9<\frac{n}{m}<10\longleftrightarrow 9m<n<10m.$$
Thus $n$ can be expressed in $9m+x$ for $x \in \mathbb{N}$ and $0<x<m$.

We have $$\frac{9}{110}<\frac{x}{m}<\frac{25}{108}$$
$$\frac{110}{9}>\frac{m}{x}>\frac{108}{25}$$
$$\frac{110x}{9}>m>\frac{108x}{25}$$

but we want to find the minimum value of $m+n$, that is we want to find the minimum value of $m,n$ that satisties the equation.
Thus $x=1$ and $\displaystyle{\frac{110}{9}>m>\frac{108}{25}}$, and we get $\min(m)=5$.
From $n=9m+x$, we have $n=9\cdot 5 +1=46$.

$$\therefore \frac{m}{n}=\frac{5}{46}$$


Thus the minimum value of $m+n$ that satisfies the equation: $\displaystyle{\frac{108}{997}<\frac{m}{n}<\frac{110}{999}}$ is $m+n=5+46=51$
as desired ##.
ตอบพร้อมอ้างอิงข้อความนี้
  #18  
Old 02 พฤษภาคม 2009, 13:09
Anonymous314's Avatar
Anonymous314 Anonymous314 ไม่อยู่ในระบบ
บัณฑิตฟ้า
 
วันที่สมัครสมาชิก: 16 มีนาคม 2008
ข้อความ: 546
Anonymous314 is on a distinguished road
Default

อ้างอิง:
Let $P(x),Q(x)$ be integer polynomials and $m \in \mathbb{N}$ such that
$$(x+4)(x+5)(x+9)P(x)-(x-4)(x-5)(x-9)Q(x)=m.$$
Find $\min(m)$ that satisfies the equation.
Answer: 32,760
Solution:
Let $$f(x)=(x+4)(x+5)(x+9)P(x)-(x-4)(x-5)(x-9)Q(x)=m.$$
We have
$$m=f(4)=8\cdot 9\cdot 13P(4)$$
$$m=f(5)=9\cdot 10 \cdot 14 P(5)$$
$$m=f(9)=13 \cdot 14 \cdot 18 P(9).$$
From $P(x)$ is a integer polynomial, if one of $P(4),P(5),P(9)$ is $0$ we get a contradiction from $m \in \mathbb{N}$ thus,
$$LCM[8\cdot 9\cdot 13,9\cdot 10 \cdot 14,13 \cdot 14 \cdot 18]|m$$
or
$$32,760|m.$$

For $x \in \mathbb{Z}$ we will find the maximum value of $$GCD[(x+4)(x+5)(x+9),(x-4)(x-5)(x-9)].$$
$$GCD[(x+4)(x+5)(x+9),(x-4)(x-5)(x-9)]=GCD[x^3+18x^2+101x+180,x^3-18x^2+101x-180]=GCD[36x^2+360,x^3-18x^2+101x-180]$$
$$GCD[36x^2+360,x^3-18x^2+101x-180]|36 \cdot GCD[x^2+10,x^3-18x^2+101x-180]=36 \cdot GCD[x^2+10,18x^2-91x+180=36 \cdot GCD[x^2+10,-91x]$$
$$36 \cdot GCD[x^2+10,-91x]| 36 \cdot 91 \cdot GCD[x^2+10,x]=36 \cdot 91 \cdot GCD[10,x]$$
$$36 \cdot 91 \cdot GCD[10,x]| 36 \cdot 91 \cdot 10=32,760$$

and we have $$GCD[(x+4)(x+5)(x+9),(x-4)(x-5)(x-9)]|32,760.$$

From the fact that the equation ,For $k,a,b \in \mathbb{Z}$ there are infinitely many pairs $(x,y) \in \mathbb{Z} \times \mathbb{Z}$ such that
$$ax+by=kGCD(a,b)$$ and the minimum positive integer $c$ that satisfies the equation $$ax+by=c$$ is $GCD(a,b)$.


Thus $$\min(m)=32,760$$ as desired.

02 พฤษภาคม 2009 14:18 : ข้อความนี้ถูกแก้ไขแล้ว 8 ครั้ง, ครั้งล่าสุดโดยคุณ Anonymous314
ตอบพร้อมอ้างอิงข้อความนี้
  #19  
Old 03 พฤษภาคม 2009, 21:20
M-A-T-H M-A-T-H ไม่อยู่ในระบบ
เริ่มฝึกวรยุทธ์
 
วันที่สมัครสมาชิก: 02 พฤษภาคม 2009
ข้อความ: 14
M-A-T-H is on a distinguished road
Default

จากที่คุณราชาสมการทำไว้ อยากจะเพิ่มเติมตรงข้อ 3 นิดนึงว่าน่าจะตอบค่า x ติดลบได้ด้วย

เรขายากจังเลย ใครรู้วิธีคิดเด็ดๆช่วยบอกที

03 พฤษภาคม 2009 22:22 : ข้อความนี้ถูกแก้ไขแล้ว 1 ครั้ง, ครั้งล่าสุดโดยคุณ nongtum
เหตุผล: double post
ตอบพร้อมอ้างอิงข้อความนี้
  #20  
Old 11 กันยายน 2009, 04:01
kang_jutarat kang_jutarat ไม่อยู่ในระบบ
สมาชิกใหม่
 
วันที่สมัครสมาชิก: 01 กันยายน 2009
ข้อความ: 4
kang_jutarat is on a distinguished road
Default

ขอคำชี้แนะโจทย์ข้อ5 ด้วยค่ะ
ตอบพร้อมอ้างอิงข้อความนี้
  #21  
Old 11 กันยายน 2009, 07:26
banker banker ไม่อยู่ในระบบ
เทพเซียน
 
วันที่สมัครสมาชิก: 24 มกราคม 2002
ข้อความ: 9,910
banker is on a distinguished road
Default

อ้างอิง:
ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ kang_jutarat View Post
ขอคำชี้แนะโจทย์ข้อ5 ด้วยค่ะ


อ้างอิง:
5.กำหนด $P=\sqrt{2500^2+1+(\frac{2500}{2501})^2}+\frac{2500}{2501}$ ถ้าเขียน $P$ ในรูป $P=A\times 10^n$ เมื่อ $0\leqslant A \leqslant 10$ และ $n$ เป็นจำนวนเต็มบวก แล้วจงหาค่าของ $1000(A+n)$


\[\begin{array}{rcl}
\sqrt{2500^2 + 1^2 + (\frac{2500}{2501})^2 } + \frac{2500}{2501} & = & \sqrt{2500^2 +2\cdot 2500 + 1^2 -2\cdot 2500+ (\frac{2500}{2501})^2 } + \frac{2500}{2501} \\

& = & \sqrt{(2500+1)^2 -2\cdot 2500+ (\frac{2500}{2501})^2 } + \frac{2500}{2501} \\

& = & \sqrt{(2501)^2 -2\cdot 2500+ (\frac{2500}{2501})^2 } + \frac{2500}{2501} \\

& = & \sqrt{(2501- \frac{2500}{2501})^2 } + \frac{2500}{2501} \\

& = & 2501- \frac{2500}{2501} + \frac{2500}{2501} \\

& = & 2501 \\


\end{array}\]


$P = 2.501 \times 10^3$

$ 1000(A+n) = 1000(2.501+3) = 5501$
__________________
มาหาความรู้ไว้ติวหลาน
แต่หลานไม่เอาเลขแล้ว
เข้ามาทำเลขเอามันอย่างเดียว

ความรู้เป็นสิ่งเดียวที่ยิ่งให้ ยิ่งมีมาก


รู้อะไรไม่สู้ รู้จักพอ
(ยกเว้นความรู้ ไม่ต้องพอก็ได้ หาไว้มากๆแหละดี)
(แต่ก็อย่าให้มากจนท่วมหัว เอาตัวไม่รอด)
ตอบพร้อมอ้างอิงข้อความนี้
  #22  
Old 11 กันยายน 2009, 09:23
kang_jutarat kang_jutarat ไม่อยู่ในระบบ
สมาชิกใหม่
 
วันที่สมัครสมาชิก: 01 กันยายน 2009
ข้อความ: 4
kang_jutarat is on a distinguished road
Default

ขอขอบคุณbanker ที่ชี้แนะโจทย์ข้อ5 ค่ะ
ตอบพร้อมอ้างอิงข้อความนี้
  #23  
Old 11 กันยายน 2009, 17:11
dew_za dew_za ไม่อยู่ในระบบ
หัดเดินลมปราณ
 
วันที่สมัครสมาชิก: 13 สิงหาคม 2009
ข้อความ: 36
dew_za is on a distinguished road
Default

ดีจังครับ...ขอบคุณมากครับ
__________________
แสน็คแจ็ค...ดิวดีมีสาระครับ
ตอบพร้อมอ้างอิงข้อความนี้
  #24  
Old 12 กันยายน 2009, 18:33
GoRdoN_BanksJunior's Avatar
GoRdoN_BanksJunior GoRdoN_BanksJunior ไม่อยู่ในระบบ
ลมปราณคุ้มครองร่าง
 
วันที่สมัครสมาชิก: 04 กันยายน 2009
ข้อความ: 327
GoRdoN_BanksJunior is on a distinguished road
Default

มีเป็นแบบไฟล์ word หรือ pdf ไหมครับ
ตอบพร้อมอ้างอิงข้อความนี้
  #25  
Old 12 กันยายน 2009, 20:58
์nat's Avatar
์nat ์nat ไม่อยู่ในระบบ
กระบี่ไว
 
วันที่สมัครสมาชิก: 24 กุมภาพันธ์ 2009
ข้อความ: 207
์nat is on a distinguished road
Send a message via MSN to ์nat
Default

ขอบคุณที่มอบข้อสอบดีดีมาให้ลองทำ
__________________
Teletubies
Tikky Winky Difzy LaaLaa Pol
ตอบพร้อมอ้างอิงข้อความนี้
  #26  
Old 19 กันยายน 2009, 16:52
Akimbo's Avatar
Akimbo Akimbo ไม่อยู่ในระบบ
สมาชิกใหม่
 
วันที่สมัครสมาชิก: 02 กันยายน 2009
ข้อความ: 7
Akimbo is on a distinguished road
Default

ขอบคุณมากๆค่ะ
__________________
My Self . . . My Success

And Now . . . My Dream
ตอบพร้อมอ้างอิงข้อความนี้
  #27  
Old 19 กันยายน 2009, 17:49
คusักคณิm's Avatar
คusักคณิm คusักคณิm ไม่อยู่ในระบบ
เทพยุทธ์
 
วันที่สมัครสมาชิก: 28 มีนาคม 2008
ข้อความ: 4,888
คusักคณิm is on a distinguished road
Default

อ้างอิง:
ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ GoRdoN_BanksJunior View Post
มีเป็นแบบไฟล์ word หรือ pdf ไหมครับ
http://www.uploadtoday.com/download/?266694&A=290360
__________________
ตอบพร้อมอ้างอิงข้อความนี้
  #28  
Old 19 กันยายน 2009, 19:18
Jew's Avatar
Jew Jew ไม่อยู่ในระบบ
บัณฑิตฟ้า
 
วันที่สมัครสมาชิก: 11 กุมภาพันธ์ 2009
ข้อความ: 357
Jew is on a distinguished road
Default

อ้างอิง:
ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ Anonymous314 View Post
Answer: 32,760
Solution:
Let $$f(x)=(x+4)(x+5)(x+9)P(x)-(x-4)(x-5)(x-9)Q(x)=m.$$
We have
$$m=f(4)=8\cdot 9\cdot 13P(4)$$
$$m=f(5)=9\cdot 10 \cdot 14 P(5)$$
$$m=f(9)=13 \cdot 14 \cdot 18 P(9).$$
From $P(x)$ is a integer polynomial, if one of $P(4),P(5),P(9)$ is $0$ we get a contradiction from $m \in \mathbb{N}$ thus,
$$LCM[8\cdot 9\cdot 13,9\cdot 10 \cdot 14,13 \cdot 14 \cdot 18]|m$$
or
$$32,760|m.$$

For $x \in \mathbb{Z}$ we will find the maximum value of $$GCD[(x+4)(x+5)(x+9),(x-4)(x-5)(x-9)].$$
$$GCD[(x+4)(x+5)(x+9),(x-4)(x-5)(x-9)]=GCD[x^3+18x^2+101x+180,x^3-18x^2+101x-180]=GCD[36x^2+360,x^3-18x^2+101x-180]$$
$$GCD[36x^2+360,x^3-18x^2+101x-180]|36 \cdot GCD[x^2+10,x^3-18x^2+101x-180]=36 \cdot GCD[x^2+10,18x^2-91x+180=36 \cdot GCD[x^2+10,-91x]$$
$$36 \cdot GCD[x^2+10,-91x]| 36 \cdot 91 \cdot GCD[x^2+10,x]=36 \cdot 91 \cdot GCD[10,x]$$
$$36 \cdot 91 \cdot GCD[10,x]| 36 \cdot 91 \cdot 10=32,760$$

and we have $$GCD[(x+4)(x+5)(x+9),(x-4)(x-5)(x-9)]|32,760.$$

From the fact that the equation ,For $k,a,b \in \mathbb{Z}$ there are infinitely many pairs $(x,y) \in \mathbb{Z} \times \mathbb{Z}$ such that
$$ax+by=kGCD(a,b)$$ and the minimum positive integer $c$ that satisfies the equation $$ax+by=c$$ is $GCD(a,b)$.


Thus $$\min(m)=32,760$$ as desired.
รกวนช่วยอธิบายถึงที่มาได้ไหมครับ
รบกวนช่วยอธิบายเป็นภาษาไทยได้ไหมครับ
__________________
สัมหรับคณิตศาสตร์
ผมไม่มีแม้ซึ่งพรสวรรค์ไม่มีแม้โอกาสด้วยอยุ่ต่างจังหวัด
จะมีก็แต่ความรักที่ทุ่มเท....
ตอบพร้อมอ้างอิงข้อความนี้
ตั้งหัวข้อใหม่ Reply


หัวข้อคล้ายคลึงกัน
หัวข้อ ผู้ตั้งหัวข้อ ห้อง คำตอบ ข้อความล่าสุด
โจทย์ จาก นานาชาติ 2552 สดๆวันนี้ คusักคณิm ข้อสอบในโรงเรียน ประถมปลาย 20 03 ตุลาคม 2009 20:35
ข้อสอบคณิต สพฐ. ม.ต้น คัดเลือกผู้แทน 2552 BooM8 ข้อสอบในโรงเรียน ม.ต้น 122 30 กรกฎาคม 2009 11:18
นานาชาติ ประถม 2552 pat555 ปัญหาคณิตศาสตร์ ประถมปลาย 3 11 เมษายน 2009 11:27
นานาชาตื 2552 pat555 ปัญหาคณิตศาสตร์ ประถมปลาย 1 25 มีนาคม 2009 12:19
ผลการคัดเลือก สสวท.ครั้งที่ 2 ปี 2552 หยินหยาง ข่าวคราวแวดวง ม.ปลาย 4 25 มกราคม 2009 12:19

เครื่องมือของหัวข้อ ค้นหาในหัวข้อนี้
ค้นหาในหัวข้อนี้:

ค้นหาขั้นสูง

กฎการส่งข้อความ
คุณ ไม่สามารถ ตั้งหัวข้อใหม่ได้
คุณ ไม่สามารถ ตอบหัวข้อได้
คุณ ไม่สามารถ แนบไฟล์และเอกสารได้
คุณ ไม่สามารถ แก้ไขข้อความของคุณเองได้

vB code is On
Smilies are On
[IMG] code is On
HTML code is Off
ทางลัดสู่ห้อง


เวลาที่แสดงทั้งหมด เป็นเวลาที่ประเทศไทย (GMT +7) ขณะนี้เป็นเวลา 22:40


Powered by vBulletin® Copyright ©2000 - 2024, Jelsoft Enterprises Ltd.
Modified by Jetsada Karnpracha