ค่าสูงสุดต่ำสุดฟังก์ชันตรีโกณ

[Ta]

ปัญหามีอยู่ว่าผมทำโจทย์เรื่องค่าสูงสุดต่ำสุดฟังก์ชันตรีโกณ
โจทย์ก็คือจงหาสูงสุดต่ำสุดของ f(x) = -3sinx+4cosx ผมก็ใช้วิธีเหมือนกับบทความเรื่องนี้แหละครับ บทความที่ 14 อ่ะครับ มันได้ค่าสูงสุด ต่ำสุด เป็น 5 กับ -5 ตามลำดับ

ผมลองทำอีกวิธีนึง จากความความจริงที่ว่า -1ฃ sinxฃ1 -------*
และ -1ฃ cosxฃ1 -------**

-3 x * ได้ -3ฃ-3sinxฃ3
4 x ** ได้ -4ฃ4cosxฃ4
แล้วก็เอามาบวกกัน ได้ -7ฃ-3sinx+4cosxฃ7
วิธินี้ก็ได้ค่าสูงสุดต่ำสุด 7 กับ -7 ตามลำดับ
ทำไมมันไม่เหมือนกับคำตอบที่ได้ตอนแรกเลยอ่ะครับ ไม่เข้าใจจริง พี่ๆครับช่วยอธิบายให้ผมที มันยังไงอ่ะครับ ผมทำผิดตรงไหน ????

[M@gpie]

เนื่องจาก \[ -3 \leq 3\sin x \leq 3 \]
และ \[ -4 \leq 4\cos x \leq 4 \]
แต่ว่า
\[ -7 \leq 3\sin x +4\cos x \leq 7 \]
นั้นเป็นข้อสรุปที่ไม่ถูกต้อง เพราะว่า \( \sin x \) กับ \( \cos x \)
เกิดค่าสูงสุดและค่าต่ำสุดไม่พร้อมกัน (ไม่แน่ใจว่าใช้คำว่าไม่เป็นอิสระต่อกันได้รึเปล่า ผุ้รู้ช่วยแจงด้วยครับตรงนี้)
สังเกตุว่าเมื่อ \( \sin x \) มีค่าสูงสุด จะพบว่า \( \cos x \)
มีค่าต่ำสุด ซึ่ง มันไม่เกิดกรณีที่ เป็น 1 พร้อมกัน ดังนั้น ค่าสูงสุด 7 ไม่มีทางเป้นไปได้
และค่าต่ำสุด -7 ก็ไม่มีทางเป็นไปได้ในทำนองเดียวกัน จึงต้องแก้ปัญหาโดยทำให้เหลือฟังก์นเพียงตัวเดียว จึงจะสรุปค่าได้

[nongtum]

เหตุผลที่น่าจะง่ายที่สุด คือ sin x กะ cos x จะไม่เป็น 1 หรือ -1 พร้อมกันสำหรับ x เดียวกันครับ หากอยากเห็นชัดๆ ลองวาดกราฟดูครับ
ที่เหลือให้เจ้าของบทความมาขยายความดีกว่าครับ
/me หลบไปปั่นการบ้านต่อ

[warut]

จริงๆเขียนว่า -7 ฃ -3sin x + 4cos x ฃ 7 ก็ไม่ผิดหรอกครับ เพียงแต่มันยังไม่ใช่ bounds ที่ดีที่สุดเท่านั้นเอง

[nooonuii]

สิ่งที่ควรทำทุกครั้งในการสร้างอสมการขึ้นมาครั้งหนึ่งก็คือหาว่าสมการเกิดขึ้นได้หรือไม่และเมื่อไหร่ วิธีคิดของน้อง Ta มีการสร้างอสมการขึ้นมาสี่ครั้ง แต่ละครั้งจะให้สมการเมื่อ x มีค่าไม่เท่ากันตามแต่กรณี(ไม่มีจุดร่วมของทั้งสี่อสมการ) ดังนั้นพอเอามาดำเนินการต่อจึงไม่สามารถเกิดสมการได้ครับ เพราะค่า x ไม่ได้มีส่วนร่วมกันเหมือนอย่างที่ข้างบนอธิบายมานั้นแลฯ

[gon]

บทความชุดที่ 14 ผมเขียนเองครับ. ต้องมาแถลงไขนิดนึง อย่างแรกมันมีที่พิมพ์ผิดเห็น ๆ อยู่หลายที่ คงเห็นนะครับ เดี๋ยว x เดี๋ยว y มั่วไปหมด.


สั้น ๆ ตรงนี้อีกที \( f(x) = a \sin x + b \cos x = \sqrt{a^2 + b^2}(\frac{a}{\sqrt{a^2 + b^2}}\sin x + \frac{b}{\sqrt{a^2 + b^2}}\cos x) \)

ถ้าสมมติให้ \(\cos y = \frac{a}{\sqrt{a^2 + b^2}} \Rightarrow f(x) = \sqrt{a^2 + b^2}(\sin x \cos y + \cos x \sin y) = \sqrt{a^2 + b^2}\sin(x+y) \)

ซึ่งจะเกิดค่าสูงสุดเมื่อ \(\sin(x+y) = 1 \iff x + y = \frac{(4n-3)\pi}{2} \iff x + \cos^{-1}\frac{a}{\sqrt{a^2 + b^2}} = \frac{(4n-3)\pi}{2} \)

\(\iff x = \frac{(4n-3)\pi}{2} - \cos^{-1}\frac{a}{\sqrt{a^2 + b^2}} \)


เอาเห็น ๆ สักค่า ในที่นี้ \(y = \cos^{-1}(\frac{-3}{5}) \approx 180^\circ - 53^\circ \approx 127 ^\circ \)

ดังนั้น x ค่าหนึ่งที่ทำให้ \(-3 \sin x + 4\cos x \, \) เกิดค่าสูงสุด คือ \( x \approx 90^\circ - 127^\circ \approx -37^\circ \)

หรือ \(-3\sin x + 4\cos x \approx (-3)(-\frac{3}{5}) + (4)(\frac{4}{5}) = 5 \,\)

[Ta]

พอเข้าใจแล้วครับ แต่แล้วก็มาเจอแบบนี้ก็งงอีกละ คราวนี้มีแต่ฟังก์ชัน sinx แค่ตัวเดียว
ถ้าเกิด ผมจะหาค่าสูงสุดต่ำสุดของ f(x) = sin²x-sinx-3/4 ถ้าผมจะใช้วิธีของผมข้างต้นได้มั้ยครับ
0ฃsin²xฃ1 และ -1ฃsinxฃ1 เสร็จแล้วก็เอามาบวกกัน จะได้ -7/4ฃsin²x-sinx-3/4 ฃ5/4

ผมบอกด้วยคร้าบว่าผมทำถูกมั้ย

[gon]

ก็ยังไม่ถูกทั้งหมดอยู่ดีครับ. วิธีที่น้องทำ มันจะเป็นกำรตีคลุมขอบเขตกว้างเกินไปครับ. คือ การทำแบบนั้นมันเป็นการแยกส่วน ทำให้รอยแตกมากขึ้น และ ส่วนมากจะใช้ได้กับรูปแบบที่เป็นเชิงเส้น

อย่างในกรณีนี้ เป็นสมการกำลัง จำเอาไว้เลยครับว่า รูปแบบหนึ่งที่ทำได้ คือ การจัดให้มีเทอมกำลังสองสมบูรณ์ปรากฏออกมา เป็นเทคนิคที่ใช้บ่อยครั้ง.

\(f(x) = (\sin x - \frac{1}{2})^2 - 1 \)

\(\because -1 \le \sin x \le 1 \Rightarrow -\frac{3}{2} \le \sin x - \frac{1}{2} \le \frac{1}{2} \Rightarrow 0 \le (\sin x - \frac{1}{2})^2 \le \frac{9}{4} \Rightarrow -1 \le (\sin x - \frac{1}{2})^2 - 1 \le \frac{5}{4}\)

ของน้องที่ทำไว้ ค่าต่ำสุด คือ \( -\frac{7}{4}\, \) มันจะทะลุที่ค่าที่ต่ำสุด จริง ๆ คือ -1

[gon]

ลองดูรูปประกอบนะครับ. และข้อนี้ถ้าน้องมีความรู้เรื่องแคลคูลัส ก็อาจใช้ได้ ครับ.