เรขา ค่าย 2 26/3/52

[math ninja]

1.1 วงกลม $O$ มี $AB$ เป็นเส้นสัมผัสวงกลมที่จุด $A$ จุด $D$ เป็นจุดภายในวงกลม ต่อ $DB$ ตัดเส้นรอบวงของวงกลมที่จุด $C$ ต่อ $OD$ ถ้า $DC = CB = 3$, $OD = 2$ และ $AB = 6$ แล้วจงหาพื้นที่วงกลม

1.2 กำหนดให้ $ABC$ เป็นสามเหลี่ยม $D$ เป็นจุดกึ่งกลาง $BC$ ลาก $AD$ $O$ เป็นจุดกึ่งกลาง $AD$ ต่อ $CO$ พบ $AB$ ที่จุด $F$ ต่อ $BO$ พบ $AC$ ที่จุด $E$ จงหาค่าของ $\frac{พื้นที่ AEOF}{พื้นที่ BOC}$

2. กำหนดให้ ABC เป็นสามเหลี่ยม จุด G เป็นจุด Orthocenter ถ้า X,Y,Z และ W เป็นจุดกึ่งกลางของ AG, AC, BC และ AB ตามลำดับ จงพิสูจน์ว่า $XY^2+YZ^2=XW^2+WZ^2$

3. สามเหลี่ยม ABC มี $AD\bot BC$ ที่จุด D จุด E, F,G เป็นจุดกึ่งกลางของ BC, AC และ AB ตามลำดับ ต่อ EF, FG และ GD ตามลำดับ ต่อ DF,GE แล้วจงพิสูจน์ว่า $AF^2-AG^2 = BE*DE$

4. กำหนดให้ BC เป็นเส้นผ่านศูนย์กลางวงกลม จุด A เป็นจุดอยู่ภายนอกวงกลม ต่อ AB, AC ตัดวงกลมที่จุด F และ E ตามลำดับ ต่อ BE, CF ตัดกันที่จุด O ลาก OA พบ BC ที่จุด D จงพิสูจน์ว่า $\frac{AO}{OD} = \frac{AF}{FB} + \frac{AE}{EC}$

5. จงสร้างสามเหลี่ยม ABC เมื่อกำหนดความยาวฐาน BC มุมยอด A และ อัตราส่วน BA:AC = 2:3

ช่วยคิดหน่อยครับ

[artty60]

ข้อ1.1 ตอบ $27\pi $ แต่ว่า$OD=2$ ให้มาไม่ได้ใช้อะไร

ข้อ1.2 ตอบ $\frac{\sqrt{3}-1}{2}$

[artty60]

ข้อ1.2โทษทีครับผมดูมุมผิดไป
ข้อนี้สามารถใช้หลักสามเหลี่ยมคล้ายออกมา
ได้อัตราส่วนของพท.สามเหลี่ยมทั้งสอง$=\frac{1}{3}$ เท่ากับคุณแฟร์ครับ

[artty60]

ช้อ2.พิสูจน์โดยสามเหลี่ยมคล้ายได้ว่า มุมXWZ=มุมXYZ=90องศา ดังนั้นโดยทบ.ของพิทากอรัส $XY^2+ YZ^2=XW^2+WZ^2$

[Form]

จขกท. ลองหาในโพสปักหมุดหมวดโอลิมปิกดูหรือยังครับ ?
ผมว่าน่าจะมีนะ

[vorodom]

5.ตอบ4
ครับถูกมั้ยหรือไม่

[นกกะเต็นปักหลัก]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ vorodom

5.ตอบ4
ครับถูกมั้ยหรือไม่

ข้อห้าให้แสดงวิธีการสร้างครับไม่ใช่คำตอบ
4นี่คือมาจากไหนครับ งง

[ยิงกระต่าย]

ข้อ1.1 ตอบ 6.25พาย
ข้อ1.2 ตอบ 1/6

[Napper]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ math ninja

3. สามเหลี่ยม ABC มี $AD\bot BC$ ที่จุด D จุด E, F,G เป็นจุดกึ่งกลางของ BC, AC และ AB ตามลำดับ ต่อ EF, FG และ GD ตามลำดับ ต่อ DF,GE แล้วจงพิสูจน์ว่า $AF^2-AG^2 = BE*DE$

ข้อนี้เจ๋งดีครับ ได้โอกาสให้ nine-point circle ออกโรง (ซึ่งปกติไม่ค่อยได้ออกเท่าไร 55)
assume ว่า AC>AB นะครับ เพราะจะได้ว่า AF>AG

ชัดเจนว่า FG//DE ให้ $AD \cap FG = X$ และให้ $Y \in FG$ เป็นจุดที่ทำให้ $EY \bot BC$

ตอนนี้มีสามเหลี่ยม AFX และสามเหลี่ยม AGX ซึ่งเป็นสามเหลี่ยมมุมฉาก
ดังนั้น $AF^2=AX^2+XF^2$ และ $AG^2=AX^2+XG^2$
นำสองสมการดังกล่าวมาลบกันจะได้ $AF^2-AG^2=XF^2-XG^2$

ฝั่งขวาของสมการสามารถแยกตัวประกอบได้ $(XF+XG)(XF-XG)=FG \cdot (XF-XG)$
ซึ่งทั้ง E,F,G เป็นจุดแบ่งครึ่งด้าน แสดงว่า $FG=BE$
ตอนนี้เรามี $AF^2-AG^2=BE \cdot (XF-XG)$

พิจารณา nine-point circle ซึ่งบรรจุ D,E,F,G ทั้งหมด
เราพบว่า $\widehat{FDG}=\widehat{FEG}$ นอกจากนี้เรายังมี FG//DE
จึงทำให้สามเหลี่ยม FDG และสามเหลี่ยม FEG เป็นสามเหลี่ยมคล้าย (ตรงนี้พิสูจ์ค่อนข้างยิบย่อย ลองทำดูนะครับ)
หรือกล่าวง่ายๆคือ สี่เหลี่ยม DEFG เป็นสีเหลี่ยมคางหมูเท่า (มีเส้นสมมาตรที่ขนานกับเส้นส่วนสูง)

ดังนั้น X,Y ซึ่งลากจาก D,E มาตั้งฉาก FD จึงทำหน้าที่แบ่งให้ $XG=YF$
เราเลยได้ว่า $XF-XG=XF-YF=XY$

นอกจากนี้เรายังมีสี่เหลี่ยมมุมฉาก DEYX แสดงว่า XY=DE
กลับไปที่สมการเดิมของเรา จึงได้ออกมาเป็น $AF^2-AG^2=BE \cdot DE$

[Aquila]

นับถือจริงๆครับ ที่มองเป็น nine point ออก น้อยคนจะมองออก

อีกข้อนึงที่เป็น nine point คือข้อ 2 แต่บทพิสูจน์มันแค่เทียบเท่า nine point
แต่ไม่ได้ประยุกต์ nine point ในแบบที่คุณทำข้อ 3

ปล. ข้อ 3 อีกวิธีอัด cosine law เข้ามุม AGF

[Thgx0312555]

เข้ามาเฉลยวิธีง่ายๆสักสองข้อ

3. $AF^2-AG^2 = \dfrac{1}{4}(DC^2-DB^2)=\dfrac{1}{4}(DC-ฺฺBD)(DC+BD)$
$=\dfrac{1}{4}(DE+EC-BE+DE)(DC+BD)=\dfrac{1}{4}(2DE)(BC)=DE \ast BE$

Note: ต้องคิดเป็น signed distance ด้วย มิฉะนั้น กรณี A อยู่ใกล้ C มากกว่าจะไม่เป็นจริง [สังเกตฝั่งซ้ายค่าเป็นลบ]

4. $\frac{AO}{OD}=\frac{[AOB]+[AOC]}{[BOC]}=\frac{[AOB]}{[BOC]}+\frac{[AOC]}{[BOC]}=\frac{AF}{FB}+\frac{AE}{EC}$

// $[XYZ]$ หมายถึงพื้นที่ของรูปสามเหลี่ยม $XYZ$

[Aquila]

ไหนๆก็จะมีเฉลยครบแล้ว

ข้อ 5 สร้างมุมที่ด้านประกอบยาวพอควรให้เท่ามุม $A$ (ที่กำหนด)
แล้วเซตจุดยาว 2 หน่วย กับ 3 หน่วยนับจากจุดยอด $A$ ลงมา
say $D,E$ ละกัน จากนั้นจากเอาความยาวฐานที่กำหนด $BC$ สร้างให้ขนาน $DE$
แล้วก็ใช้สามเหลี่ยมคล้าย prove ว่าสัดส่วน $2:3$ จริงๆ

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ Thgx0312555

เข้ามาเฉลยวิธีง่ายๆสักสองข้อ

3. $AF^2-AG^2 = \dfrac{1}{4}(DC^2-DB^2)=\dfrac{1}{4}(DC-ฺฺBD)(DC+BD)$
$=\dfrac{1}{4}(DE+EC-BE+DE)(DC+BD)=\dfrac{1}{4}(2DE)(BC)=DE \ast BE$

Note: ต้องคิดเป็น signed distance ด้วย มิฉะนั้น กรณี A อยู่ใกล้ C มากกว่าจะไม่เป็นจริง [สังเกตฝั่งซ้ายค่าเป็นลบ]

4. $\frac{AO}{OD}=\frac{[AOB]+[AOC]}{[BOC]}=\frac{[AOB]}{[BOC]}+\frac{[AOC]}{[BOC]}=\frac{AF}{FB}+\frac{AE}{EC}$

// $[XYZ]$ หมายถึงพื้นที่ของรูปสามเหลี่ยม $XYZ$

ข้อ 3 งงบรรทัดแรกอยู่นาน นึกว่าเป็น Puppus แต่คือปีทากอรัสดีๆนี่เอง

ข้อ 4 วิธีเดียวกันเลยครับ มอง $BO,CO$ เป็นฐานร่วม

ปล. ใช้ length chasing เก่งดีครับ