Geometry marathon

[tatari/nightmare]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ tatari/nightmare

19.It is known that A is the smallest angle in the triangle . The points B and C divide the circumcircle of the triangle into two arcs. Let U be an interior point of the arc between B and C which does not contain A. The perpendicular bisectors of AB and AC meet the line AU at V and W, respectively. The lines BV and CW meet at T .

Show that $AU=TB+TC$ .ข้อนี้เป็น imo1997 และผมก็อยากจะนำเสนอวิธีของผมด้วย(NO TRIGO!))
20.Let ABCD be a trapezoid with parallel sides AB>CD . Points K and L lie on the line segments AB and CD, respectively, so that $\frac{AK}{KB}=\frac{DL}{LC}$. Suppose that there are points P and Q on the line segment KL satisfying $\angle APB=\angle BCD$ and $\angle CQD=\angle ABC$. Prove that the points P,Q,B and C are concylic.(ผมก็จะนำเสนอวิธีของผมในข้อนี้ด้วย)

........................................เงียบดีจริงๆ...............................................................

19.ให้ o เป็นจุดศูนย์กลางวงกลมล้อมรอบสามเหลี่ยม ABC WLOG O อยู่ภายในสามเหลี่ยม AWC
กำหนดจุด R บน (AU) ที่ทำให้ $AR=BT$ แล้วพยายามพิสูจน์ให้ได้;jk
$\bigtriangleup ROU\cong \bigtriangleup TOC$[a little trivia]
20.keyword ของข้อนี้อยู่ที่ $\frac{AK}{KB}=\frac{DL}{LC}$ พยายามสร้างสามเหลี่ยมคล้ายด้วยใช้สิ่งนี้ให้เป็นประโยชน์ แล้วจะได้สิ่งที่ต้องการ
{ขออภัยด้วยที่เขียน full solution ให้ไม่ได้}

[ปลากะพง ณ บาดาล]

สวัสดีครับท่าน tatari/nightmare ข้าน้อยขอคารวะ เชิญดื่มๆ...

วิธีผมนะ

ตอนนี้สมมุติว่าจุด O อยู่ในตำแหน่งดังรูป (ความจริงจุด O อยู่นอกสามเหลี่ยม ABC ก็ยังได้)
คราวนี้ $\triangle ADV \cong \triangle BDV$ (ด-ม-ด) ทำให้ $\angle BVU = \angle VBA + \angle VAB = 2\angle VAB$
ทำนองเดียวกัน $\angle TWV = 2\angle WAC$ ทำให้ $\angle BTC = \angle VBA + \angle TWV = 2\angle VAB + 2\angle WAC = 2\angle A$
ลาก BT ต่อออกไปพบเส้นรอบวงที่ N และลาก CN
เราพบว่า $\angle TCN = \angle TCA + \angle ACN = \angle TCA + \angle ABN = \angle WAC + \angle VAB = \angle A$
ดังนั้น $\angle BNC = \angle BTC - \angle TCN = 2\angle A - \angle A = \angle A$ เลยได้ว่าสามเหลี่ยม $CNT$ เป็นสามเหลี่ยมหน้าจั่ว และ $TC = TN$
จากความสมมาตร (ที่จริงมาจากความเท่ากันทุกประการแต่เกียจคร้านพิสูจน์ ) $AU = BN$ เลยได้ว่า $AU = BN = BT + TN = BT + TC$
จบแล้ว

(สำหรับตำแหน่งอื่นๆ ของ O ผมว่าน่าจะทำคล้ายกัน อาจจะแค่เปลี่ยนเป็นมุมมีทิศทาง (Directed Angle) ก็ได้นะ ... ไปทำใน IMO จริงๆ ต้องแยกกรณีให้ครบนะ)

[ฟินิกซ์เหินฟ้า]

ดูเงียบเหลือเกิน
$Problem21.$ ให้รูปสี่เหลี่ยม $ABCD$ มี $∠ABD=∠ADB=20^∘$ และ $∠CAD=35^∘$ และ $∠DCA=30^∘$ จงหามุม $ACB$(ต้องสร้าง)

[~ArT_Ty~]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ ฟินิกซ์เหินฟ้า

ดูเงียบเหลือเกิน
$Problem20.$ ให้รูปสี่เหลี่ยม $ABCD$ มี $∠ABD=∠ADB=20∘$ และ $∠CAD=35∘$ และ $∠DCA=30∘$ จงหามุม $ACB$(ต้องสร้าง)

สร้างจุด $E$ บน $BC$ ที่ทำให้ $ADE$ เป็นสามเหลี่ยมด้านเท่า จากการไล่มุมก็จะได้ว่า $A \hat E C = 130 ^{\circ}$

และเรารู้จากการไล่มุมอีกว่า $C \hat A E = 25 ^{\circ}$ แสดงว่า $A \hat C B =25^{\circ}$

[ฟินิกซ์เหินฟ้า]

ถูกแล้วครับ
$Problem22. (Medium)$ Two circles meet at $P$ and $Q$.A line intersects segment $PQ$ and meets the circles at points $A,B,C,D$ in that order.Prove that $\angle APB=\angle CQD$

[artty60]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ ~ArT_Ty~

สร้างจุด $E$ บน $BC$ ที่ทำให้ $ADE$ เป็นสามเหลี่ยมด้านเท่า จากการไล่มุมก็จะได้ว่า $A \hat E C = 130 ^{\circ}$

และเรารู้จากการไล่มุมอีกว่า $C \hat A E = 25 ^{\circ}$ แสดงว่า $A \hat C B =25^{\circ}$

Attachment 13991

ผมยังติดใจตรงที่จุดEที่จะทำให้เกิดสามเหลี่ยมด้านเท่านั้นทราบได้อย่างไรครับว่าอยู่บนBCน่ะครับ

[~ArT_Ty~]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ artty60

ผมยังติดใจตรงที่จุดEที่จะทำให้เกิดสามเหลี่ยมด้านเท่านั้นทราบได้อย่างไรครับว่าอยู่บนBCน่ะครับ

จากรูปเราก็จะรู้นะครับว่า $E$ เป็น circumcenter ของ $\bigtriangleup DAC$

และ $A$ ก็เป็น circumcenter ของ $\bigtriangleup DEB$ (รู้จากการไล่มุม)

แสดงว่า $D \hat E C = 70^{\circ}$ และจาก $AE=AB$ ก็จะได้ว่า $A \hat E B=50^{\circ}$

$\therefore C \hat E B=70^{\circ}+60^{\circ}+50^{\circ}=180^{\circ}$

แสดงว่า $E$ อยู่บน $BC$ แน่นอนครับ

ขออภัยที่ตอนแรกผมไม่ได้แสดงให้ชัดเจน แต่ถ้าเป็นการสอบจริงก็ต้องแสดงด้วยนะครับขอเตือนไว้ก่อน

[artty60]

ขอบคุณครับ

[~ArT_Ty~]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ ฟินิกซ์เหินฟ้า

ถูกแล้วครับ
$Problem22. (Medium)$ Two circles meet at $P$ and $Q$.A line intersects segment $PQ$ and meets the circles at points $A,B,C,D$ in that order.Prove that $\angle APB=\angle CQD$

$A\hat P B =P \hat B C-P \hat A C=P \hat Q D - P \hat Q C = C \hat Q D$

[ฟินิกซ์เหินฟ้า]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ ~ArT_Ty~

$A\hat P B =P \hat B C-P \hat A C=P \hat Q D - P \hat Q C = C \hat Q D$

$Problem23.\triangle ABC$ has sides $BC=a,CA=b,AB=c$ with $b=\frac{a+c}{2}.$
Determine the largest possible size of angle $B$

[artty60]

$Problem23.\triangle ABC$ has sides $BC=a,CA=b,AB=c$ with $b=\frac{a+c}{2}.$
Determine the largest possible size of angle $B$

จากCosine's Law

$b^2=a^2+c^2-2accosB$

$(\dfrac{a+b}{2})^2=a^2+c^2-2accosB$

$a^2+2ac+c^2=4a^2+4c^2-8accosB$

$cosB=\dfrac{3(a^2+b^2)-2ac}{8ac}$

และ $a^2+c^2\geqslant 2ac$

$\therefore cosB\geqslant \frac{1}{2}$

ค่ามุมBมากสุดเมื่อค่า $cosB$น้อยสุด นั่นคือ $cosB=\frac{1}{2}$

ดังนั้น $60^{\circ} $ เป็นคำตอบ

[artty60]

อ่านโจทย์แล้วงงครับ วาดรูปไม่ถูก เส้นสัมผัสวงกลมที่มีBCเป็นเส้นผ่านศูนย์กลาง เส้นสัมผัสจะไปตัดเส้นผ่านศูนย์กลางได้ยังไงครับ
AD และAEเป็นเส้นสัมผัส BC เป็นเส้นผ่านศูนย์กลาง

[~ArT_Ty~]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ ฟินิกซ์เหินฟ้า

$Problem23.\triangle ABC$ has sides $BC=a,CA=b,AB=c$ with $b=\frac{a+c}{2}.$
Determine the largest possible size of angle $B$

มีอีกวิธีครับ

จาก Law of sine จะได้ว่า

$$\frac{\sin B}{b}=\frac{\sin(A+C)}{\frac{a+c}{2}}=\frac{\sin A+\sin C}{a+c}$$

$$\begin{array}{rcl} 2\sin(A+C) & = & 2\sin(\frac{A+C}{2})\cos(\frac{A-C}{2}) \\ \cos(\frac{A+C}{2}) & = & \frac{1}{2}\cos(\frac{A-C}{2}) \\ \sin \frac{B}{2} &=&\frac{1}{2}\cos(\frac{A-C}{2}) \end{array}$$

แสดงว่า $\sin \frac{B}{2} \leqslant \frac{1}{2}=\sin \frac{\pi}{12}$ แต่ $f(x)=\sin x$ เป็นฟังก์ชันเพิ่มบนช่วง $(0,\frac{\pi}{2})$

ดังนั้นจะได้ว่า $\frac{B}{2} \leqslant \frac{\pi}{12}$ หรือ $B \leqslant \frac{\pi}{6}$

$\therefore$ ค่าของมุม $B$ ที่มากที่สุดคือ $60^{\circ}$ เกิดขึ้นเมื่อ $ABC$ เป็นสามเหลี่ยมด้านเท่า

[artty60]

ใครช่วยหน่อยครับ คิดวิธีแบบม.ต้นมานานยังคิดไม่ออกครับ

[ฟินิกซ์เหินฟ้า]

SOlution(trigonometry)นะครับ

เนื่องจาก
\[ \frac{\sin 38^{\circ} \cdot \sin 4^{\circ}}{\sin 10^{\circ} \cdot \sin 18^{\circ}} = \frac{\sin 46^{\circ}}{\sin 64^{\circ}} \]
ดังนั้น$\angle AMB =106 ^{\circ}.$