ข้อสอบ Pat 1 ตุลาคม 2552 ติดอยู่สามข้อ

[ครูนะ]

21. กำหนดให้ A เป็นเซตซึ่งสอดคล้องกับเงื่อนไขต่อไปนี้
ก. $1 \in A$
ข. ถ้า $x \in A$ แล้ว $\frac{1}{x} \in A$
ค. $x \not\in A ก็ต่อเมื่อ 2x \in A$
จำนวนในข้อใดต่อไปนี้เป็นสมาชิกของ A
1. 1/2
2. 1/8
3. 1/16
4. 1/32

22. ถ้า $\theta$ เป็นมุมซึ่ง $0 \leqslant \theta \leqslant 180$ แล้ว จากเวลาเที่ยงวันถึงบ่ายโมง เข็มยาวและเข็มสั่นของนาฬิกาจะทำมุมกันเท่ากับ $\theta$ เป็นครั้งแรกเมื่อเวลาผ่านไปกี่นาที
1. $\frac{2\theta}{13}$
2. $\frac{2\theta}{11}$
3. $\frac{2\theta}{9}$
4. $\frac{2\theta}{7}$

ตอนที่ 2 ข้อ 5. ถ้า 1 - cot20 = $\frac{x}{1-cot25}$ แล้ว x มีค่าเท่าใด

ผมติดอยู่สามข้อ รบกวนผู้รู้ช่วยเอาความโง่ออกจากหัวผมที

[Kowit Pat.]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ ครูนะ

21. กำหนดให้ A เป็นเซตซึ่งสอดคล้องกับเงื่อนไขต่อไปนี้
ก. $1 \in A$
ข. ถ้า $x \in A$ แล้ว $\frac{1}{x} \in A$
ค. $x \not\in A ก็ต่อเมื่อ 2x \in A$
จำนวนในข้อใดต่อไปนี้เป็นสมาชิกของ A
1. 1/2
2. 1/8
3. 1/16
4. 1/32

ตอบ $\frac{1}{16}$

พิจารณาเฉพาะจำนวนคู่บวก เช่น ถ้า 2 เป็นสมาชิก $\frac{1}{2}$ ก็เป็นสมาชิก (จากเงื่อนไข ข.)
แต่ จากเงื่อนไข ค. พบว่า $2\times \frac{1}{2} = 1$ ดังนั้น ${2 , \frac{1}{2}}$ จึงไม่ใช่
สมาชิกของ A

จากเืงื่อนไข จะพบว่าดังนั้น $\frac{1}{4}$ จะเป็นสมาชิก เนื่องจากคูณกับสองแล้วได้ $\frac{1}{2}$
(ซึ่ง $\frac{1}{2}$ ไม่ใช่สมาชิก.... )

ถ้า $\frac{1}{4}$ เป็นสมาชิก ดังนั้น $\frac{1}{8}$ ก็ไม่ใช่สมาชิก
ดังนั้น จำนวนที่เป็นสมาชิกของ A จาก choice คือ $\frac{1}{16}$ เนื่องจาก
$2\times \frac{1}{16} =\frac{1}{8} $ ( ซึ่ง $\frac{1}{8}$ ไม่ใช่สมาชิก )

[Kowit Pat.]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ ครูนะ

22.ถ้า $\theta$ เป็นมุมซึ่ง $0 \leqslant \theta \leqslant 180$ แล้ว จากเวลาเที่ยงวันถึงบ่ายโมง เข็มยาวและเข็มสั่นของนาฬิกาจะทำมุมกันเท่ากับ $\theta$ เป็นครั้งแรกเมื่อเวลาผ่านไปกี่นาที
1. $\frac{2\theta}{13}$
2. $\frac{2\theta}{11}$
3. $\frac{2\theta}{9}$
4. $\frac{2\theta}{7}$

ตอบ $\frac{2\theta}{11}$

เข็มยาวมีความเร็วเท่ากับ $\frac{30^o}{5}$ องศาต่อนาที
ส่วน เข็มสั้นมีความเร็วเท่ากับ $\frac{30^o}{60}$ องศาต่อนาที

เนื่องจากเริ่มต้นพร้อมกันเวลาเที่ยงวัน (มุมเริ่มต้นเท่ากัน)

ให้ $t$ เป็นเวลาที่เข็มทั้งสองทำมุมกัน $\theta$
จากโจทย์เขียนเป็นสมการได้คือ

$\frac{30^o\cdot t}{5} - \frac{30^o \cdot t}{60} = \theta$

แก้สมการจะได้ $t =\frac{2\theta}{11}$

[Kowit Pat.]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ ครูนะ

ตอนที่ 2 ข้อ 5. ถ้า 1 - cot20 = $\frac{x}{1-cot25}$ แล้ว x มีค่าเท่าใด

ตอบ $x = 2$
ข้อนี้ผมทำแบบนี้น่ะครับ ไม่รู้ว่าง่ายหรือเปล่า

เนื่องจาก $tan(A+B) = \frac{tanA + tanB}{1-tanAtanB}$
ดังนั้น $cot(A+B) = \frac{1}{tan(A+B)} = \frac{1-tanAtanB}{tanA + tanB}$

แล้วเปลี่ยนค่า $tanA = \frac{1}{cotA}$ และ $tanB = \frac{1}{cotB}$

จัดรูปใหม่จะได้ $cot(A+B) = \frac{cotAcotB-1}{cotA+cotB}$ .... บรรทัดนี้บางท่านอาจจำสูตรนี้ได้ ส่วนผมสูญเสียความทรงจำไปแล้ว เลยต้องไล่พิสูจน์มาจาก $tan(A+B)$

หรือย้ายข้างเขียนใหม่ได้ คือ $cotAcotB = [cot(A+B)][cotA+cotB]+1 $ อยู่ในรูปผลคูณของ $cotA$กับ$cotB$

กลับมาที่โจทย์
$x = (1-cot20^o)(1-cot25^o) = 1-cot25^o-cot20^o+cot20^o\cdot cot25^o$

แล้วแทนค่าผลคูณของ $cot$

$x = 1-cot25^o-cot20^o+[cot(20^o+25^o)(cot20^o+cot25^o)+1]$
จะได้ $x = 2$

[ครูนะ]

ผมเข้าใจแล้วครับ ขอบคุณมากครับ คุณ Kowit Pat เก่งมากครับ
จริงๆ มันง่ายมากๆ แต่ผมทำไม่ได้ครับ ผมโง่มากจริงๆ