เรื่อง ลำดับและอนุกรม ครับ

[ZoDiAcKNight]

$ \frac{10}{3} , 4 , 6 , 12 $

จงหาพจน์ทั่วไป

อาจจะมีข้ออื่นให้ต้องรบกวนอีก

ใครมีสูตร+วิธีทำ โจทย์แนวๆนี้ช่วยนำมาอธิบา่ยด้วยก็ดีครับ

พอดีอาจารย์ที่สอนเขาแยกเป็นประเภทเอา สูตรมันดูแปลกๆจากที่เห็นหนังสือเรียนคนอื่นเขาเรียนกัน = ="

[nooonuii]

อยากได้ลำดับแบบไหนล่ะครับ เช่น พหุนาม เลขคณิต เรขาคณิต

ถ้าไม่บอกคุณสมบัติจะมีได้เป็นอนันต์ชุด

[ZoDiAcKNight]

ผมให้หาพจน์ทั่วไปขอรับ = ="

[poper]

$a_n=3^{n-2}+3$ ครับ

[nooonuii]

ผมถึงบอกว่าอยากได้แบบไหนไงครับ แถมให้อีก ลองเลือกได้ตามสบายครับ

1. $a_n=\dfrac{1}{9}\Big(4n^3-18n^2+32n+12\Big)$

2. $a_n=\dfrac{1}{3}\Big((-1)^n+19-12n+4n^2\Big)$

3. $a_n=\dfrac{1}{3}\Big(10n-8\Big[\dfrac{n}{2}\Big]-4\Big[\dfrac{n}{3}\Big]+16\Big[\dfrac{n}{4}\Big]\Big)$

4. $a_n=\dfrac{1}{3}\Big(10+2\Big[\dfrac{n}{2}\Big]+12\Big[\dfrac{n}{3}\Big]+10\Big[\dfrac{n}{4}\Big]\Big)$

โจทย์แบบนี้มันโจทย์ตามใจฉันใครนึกอยากจะสร้างอะไรก็สร้างขึ้นอยู่กับจินตนาการของแต่ละคน จริงๆแล้วผมสามารถสร้างให้ได้เป็นอนันต์ชุดด้วยซ้ำถ้าอยากได้

[poper]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ nooonuii

ผมถึงบอกว่าอยากได้แบบไหนไงครับ แถมให้อีก ลองเลือกได้ตามสบายครับ

1. $a_n=\dfrac{1}{9}\Big(4n^3-18n^2+32n+12\Big)$

2. $a_n=\dfrac{1}{3}\big((-1)^n+19-12n+4n^2\Big)$

3. $a_n=\dfrac{1}{3}\Big(10n-8\Big[\dfrac{n}{2}\Big]-4\Big[\dfrac{n}{3}\Big]+16\Big[\dfrac{n}{4}\Big]\Big)$

4. $a_n=\dfrac{1}{3}\Big(10+2\Big[\dfrac{n}{2}\Big]+12\Big[\dfrac{n}{3}\Big]+10\Big[\dfrac{n}{4}\Big]\Big)$

โจทย์แบบนี้มันโจทย์ตามใจฉันใครนึกอยากจะสร้างอะไรก็สร้างขึ้นอยู่กับจินตนาการของแต่ละคน จริงๆแล้วผมสามารถสร้างให้ได้เป็นอนันต์ชุดด้วยซ้ำถ้าอยากได้

ขอคาระวะจากใจครับ คุณ nooonuii

[RM@]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ ZoDiAcKNight

$ \frac{10}{3} , 4 , 6 , 12 $

จงหาพจน์ทั่วไป

อาจจะมีข้ออื่นให้ต้องรบกวนอีก

ใครมีสูตร+วิธีทำ โจทย์แนวๆนี้ช่วยนำมาอธิบา่ยด้วยก็ดีครับ

พอดีอาจารย์ที่สอนเขาแยกเป็นประเภทเอา สูตรมันดูแปลกๆจากที่เห็นหนังสือเรียนคนอื่นเขาเรียนกัน = ="

โดยทั่วไป ถ้าเป็นระดับมัธยมปลาย จะสมมติว่าอย่างมากก็เป็นลำดับพหุนามกำลังสาม ผสมกับลำดับเรขาคณิต

อย่างแรกให้สังเกตว่า $ \frac{10}{3} , 4 , 6 , 12 = \frac{10}{3}, \frac{12}{3}, \frac{18}{3}, \frac{36}{3}$

ดังนั้นพจน์ทั่วไปของตัวส่วนจะเป็น 3 แน่นอน

สำหรับพจน์ทั่วไปของตัวเศษคืิอ 10, 12, 18, 36

ให้สังเกตว่า ถ้านำพจน์ที่ติดกันมาลบกัน จะได้ลำดับเรขาคณิตที่มี r = 3 คือ 2, 6, 18 แสดงว่าพจน์ทั่วไปของ 10, 12, 18, 36 จะเิกิดจากพหุนามกำลังศูนย์ + ลำดับเรขาคณิตที่มี r = 3

ลำดับพหุนามกำลังศูนย์ก็คือค่าคงตัวนั่นเอง ถ้าเราลองเขียน 10, 12, 18, 36 ใหม่เป็น

9 + 1, 9 + 3, 9 + 9, 9 + 27

เห็นได้ชัดว่า 1, 3, 9, 27 เป็นลำดับเรขาคณิตที่มี r = 3 ตามที่เราคิดไว้ตอนแรก ดังนั้น พจน์ทั่วไปของตัวเศษคือ 9 + พจน์ทั่วไปของ 1, 3, 9, 27 = $9 + 3^{n-1}$ นั่นเอง

ดังนั้นจะได้ $a_n = \frac{9+3^{n-1}}{3} = 3+3^{n-2}$

ถ้ามองไม่ออกก็สมมติให้พจน์ทั่วไปของตัวเศษคือ $k + b3^n$

เมื่อ k, b เป็นค่าคงตัวใด ๆ จากนั้นแทน n = 1, 2 ตามลำดับจะได้

$10 = k + b(3) ...(1)$

$12 = k + b(3^2) ...(2)$

เมื่อแก้ระบบสมการ ก็จะได้ b = 1/3, k = 9 นั่นเอง.

ถ้าไม่แปลงตัวส่วนให้เป็น 3 ก่อน ก็นำมาลบกันเลยก็ได้ครับ คือได้

$\frac{2}{3}, 2, 6$ จะเห็นว่าได้ลำดับเรขาคณิตที่มี r = 3 ทันทีเหมือนกัน

[ZoDiAcKNight]

ขอบคุณมากครับผม

[poper]

ผมมองเป็นลำดับสองชั้นครับ
ชั้นแรกเป็นผลต่างร่วม จะได้ลำดับของผลต่างชั้นที่ 1 คือ $\frac{2}{3},2,6,...$
จะเห็นได้ชัดว่าเป็นลำดับเรขาคณิตที่มีอัตราส่วนร่วม $r=3$
ให้ $\{b_n\}=\frac{2}{3},2,6,...=2\cdot3^{n-2}$
หา $a_n$ โดยใช้สูตร $a_n=a_1+\sum_{k=1}^{n-1}b_k$ จะได้
$$a_n=\frac{10}{3}+\sum_{k=1}^{n-1}[2\cdot3^{k-2}]$$
$$=\frac{10}{3}+\frac{2}{9}\sum_{k=1}^{n-1}[3^k]$$
$$=\frac{10}{3}+\frac{2}{9}[\frac{3(3^{n-1}-1)}{3-1}]$$
$$=\frac{10}{3}+\frac{3^{n-1}-1}{3}=\frac{3^{n-1}+9}{3}=3^{n-2}+3$$
ยาวมากครับ มองแบบคุณ RM@ น่าจะง่ายกว่า

[RM@]

วิธีการคิดแบบคุณ poper ใช้ได้ทั่วไปครับ ซึ่งทำให้พิสูจน์สูตรพจน์ทั่วไปของลำดับพหุนาม [$a_n = a_1 + \binom{n-1}{1}d_1 + \binom{n-1}{2}d_2 + ...$ ] กับ ลำดับพหุนามผสมกับเรขาคณิต (???)

ซึ่งถ้าเป็นลำดับพหุนามกำลังสาม เช่น $a_n$ = 2, 9, 28, 65, 126 ถ้าทำโดยตรงไม่ใช้สูตร ก็จะต้องหาผลบวกถึงสองครั้งด้วยกัน

แต่ถ้าเรารู้พฤติกรรม(พิสูจน์) ว่าพหุนามกำลังสาม ถ้านำลำดับที่ติดกันมาลบกันสามครั้งจะได้ลำดับคงตัวเป็นครั้งแรก

2, 9, 28, 65, 126
7, 19, 37, 61
12, 18, 24
6, 6

เราก็สามารถสมมติว่า $a_n = a_3n^3+a_2n^2+a_1n+a_0$ แล้วแก้ระบบสมการ ซึ่งจะแก้ได้ง่าย เนื่องจากเอาสมการมาลบกันเรื่อย ๆ ก็จะได้คำตอบในที่สุด

[bell18]

สุดยอดทุกคนเลยครับ!!!

[nooonuii]

ถ้าอนุญาตให้มีแค่ลำดับเรขาคณิตกับพหุนามก็สามารถสร้างได้อนันต์แบบครับ

$a_n=\dfrac{1}{3(r-1)^3}\Big[8r^{n-1}+4(3r^3-11r^2+15r-9)-4(r-1)(r-2)(r-3)n+2(r-1)^2(r-3)n^2\Big]$

เมื่อ $r\neq 0,1$

ตัวอย่างสำหรับกรณี $r$ น้อยๆก็อย่างเช่น

$a_n=\dfrac{1}{81}\Big[(-2)^{n+2}+428-240n+90n^2\Big]$

$a_n=\dfrac{1}{3}\Big[(-1)^{n}+19-12n+4n^2\Big]$

$a_n=\dfrac{1}{3}\Big[2^{n+2}+4-2n^2\Big]$

$a_n=3^{n-2}+3$

$a_n=\dfrac{1}{81}\Big[2^{2n+1}+268-24n+18n^2\Big]$

วิธีคิดก็ไม่ยากอย่างที่คิด เพียงแค่สมมติว่า

$a_n=ar^n+b+cn+dn^2$

แทนค่า $n=1,2,3,4$ แล้วก็แก้ระบบสมการเชิงเส้น $4$ ตัวแปรครับ

[nooonuii]

ส่วนอันนี้ใช้แค่ลำดับเรขาคณิตอย่างเดียว

$a_n=-\dfrac{9}{20}(-3)^n+\dfrac{3}{8}(-2)^n+\dfrac{33}{40}\cdot 2^n+\dfrac{13}{36}\cdot 3^n$

$a_n=6\cdot 2^n-\dfrac{53}{9}\cdot 3^n+3\cdot 4^n-\dfrac{3}{5}\cdot 5^n$

สรุปคือสมมติว่า

$a_n=af(n)+bg(n)+ch(n)+di(n)$

เมื่อ $f,g,h,i$ เป็นฟังก์ชันใดๆที่เราต้องการอยากจะใส่เข้าไป

ถ้าแทนค่า $n=1,2,3,4$ แล้วระบบสมการมีคำตอบ เราก็จะสร้างสูตรที่เราต้องการได้ครับ

[กระบี่เดียวดายแสวงพ่าย]

ความจริงแล้วผมเองก็อยากจะถามเหมือนกันครับ
ว่าถ้าผมทำข้อสอบพวกความถนัดที่ให้สังเกตุรูปแบบของลำดับ
แล้วตอบพจน์ถัดไปว่าเป็นเลขอะไร? เราจะเอาเกณฑ์อะไรมาตัดสินว่าตอบถูกหรือผิดครับ
เช่นอันนี้เป็นข้อสอบsmart1 เมื่อปีก่อนครับ
77 49 36 18 ... เลขในลำดับต่อไปคืออะไรครับ

[nooonuii]

ถ้าใช้สูตรของลำดับ

$a_n=77-28\Big[\dfrac{n}{2}\Big]-13\Big[\dfrac{n}{3}\Big]+10\Big[\dfrac{n}{4}\Big]+(r-18)\Big[\dfrac{n}{5}\Big]$

จะได้ว่าตัวต่อไปก็คือ $r$

นั่นคือตัวต่อไปของลำดับเป็นเลขอะไรก็ได้ครับ

สรุปคือ คนออกข้อสอบอยากให้คำตอบเป็นอะไรเราก็ตอบอันนั้นแหละครับ ถูกชัวร์