|
สมัครสมาชิก | คู่มือการใช้ | รายชื่อสมาชิก | ปฏิทิน | ข้อความวันนี้ | ค้นหา |
|
เครื่องมือของหัวข้อ | ค้นหาในหัวข้อนี้ |
#1
|
|||
|
|||
สอบถามผู้รู้เรื่องสมการ Diophantine (คนหัวโบราณ)
สำหรับผู้ที่เคยเรียนเรื่องของสมการDiophantine คงจะทราบกันแล้วว่าเรามีสูตรสำเร็จสำหรับการหาคำตอบที่เป็นจำนวนเต็มของสมการ $7x+5y=53$ เพียงแต่ผมอยากทราบว่าถ้าผมไม่อยากใช้สูตรลัดจะมีวิธีหาคำตอบแบบแสดงวิธีทำหรือไม่
__________________
JUST DO IT |
#2
|
|||
|
|||
มีหลายวิธีครับ เช่น 7x + 5y = 53 จัดรูปเป็น 2x+ 5x + 5y = 50 + 3
2x - 3 = 50 - 5x - 5y จะเห็นว่านิพจน์ทางด้านขวาของสมการ หารด้วย 5 ลงตัว แสดงว่า 2x - 3 หารด้วย 5 ลงตัว (หรือเขียนว่า 5|2x-3) แสดงว่า 6x - 9 หารด้วย 5 ลงตัว แสดงว่า 5x + x - 5 - 4 หารด้วย 5 ลงตัว แสดงว่า x - 4 หารด้วย 5 ลงตัว ดังนั้น x - 4 = 5t หรือ x = 4 + 5t สำหรับจำนวนเต็ม t ใด ๆ แล้วเอาไปแทนค่าในสมการที่ให้มา ก็จะได้ค่าของ y ครับ. 03 ธันวาคม 2010 16:37 : ข้อความนี้ถูกแก้ไขแล้ว 1 ครั้ง, ครั้งล่าสุดโดยคุณ RM@ |
#3
|
|||
|
|||
บังเอิญผมไปอ่านหนังสือเลขแปลเป็นภาษาไทยของประเทศญี่ปุ่นเห็นผู้แต่งเขาเขียนเฉลยดูง่ายดี แต่พอไปอ่านในหนังสือทฤษฎีจำนวนเจอแต่เฉลยแบบการใช้สูตรผมจึงอยากรู้ว่ามันมีวิธีทำแบบอื่นอีกไหม
(โดยส่วนตัวผมต้องขอบอกก่อนนะครับว่าเฉลยแบบที่ผมพิมพ์นี้อาจจะดูว่าง่ายหรือเป็นวิธีทำที่มันอาจจะมีอยู่แล้วเพียงแต่ผมคงโง่เองที่เพิ ่งไปอ่านเจอ) เฉลยแบบในหนังสือแปล ขั้นตอนที่1: จากสมการ $7x+5y=53$.................................$(1)$ ให้เราหา หรม. ของ $7$ และ $5$ ก่อน โดยใช้ Division Algorithm เราจะได้ว่า $7=(5)(1)+2$ $5=(2)(2)+1$ และ $2=(1)(2)+0$ แสดงว่า หรม. ของ $7$ และ $5$ เท่ากับ $1$ ขั้นตอนที่2: นำ หรม. = $1$ มาเขียนในรูป linear combination เราจะได้ว่า $1=5-(2)(2)$ $1=5-(7-(5)(1))(2)$ $1=5-(7)(2)+(5)(2)$ $1=(5)(3)-(7)(2)$ $1=(5)(3)+(7)(-2)$ ดังนั้น $(5)(3)+(7)(-2)=1$............................$(2)$ ขั้นตอนที่3:นำ $53$ คูณตลอดสมการ $(2)$ $(5)(159)+(7)(-106)=53$..........................$(3)$ นำสมการ$(1)-(3)$ $(5)(y-159)+(7)(x+106)=0$ $(5)(y-159)=-(7)(x+106)$ หลังจากนั้นนำจำนวนเต็ม $t$ คูณเข้าทั้งสองข้างของสมการ $(5t)(y-159)=-(7t)(x+106)$ แล้วใช้หลักการจับคู่เข้าช่วยในการพิจารณา ดังนั้น $(y-159)=-7t$ และ $5t=(x+106)$ เราจะได้ว่า $y=159-7t$ และ $x=-106+5t$ โดยที่ $t$ เป็นจำนวนเต็ม ผมรู้สึกเหมือนว่าวิธีนี้คือการพิสูจน์นั่นเองไม่รู้ใช่หรือไม่ ท่านเทพทั้งหลายช่วยบอกผมทีครับ และผมได้ข้อสังเกตอีกอย่างหนึ่งว่า ถ้าเราแทน $t$ ด้วย $-t$ เราจะได้ว่าคำตอบคือ $y=159+7t$ และ $x=-106-5t$ โดยที่ $t$ เป็นจำนวนเต็ม ซึ่งจะให้คำตอบออกมาเป็นจำนวนเต็มเหมือนกัน
__________________
JUST DO IT |
#4
|
||||
|
||||
หนังสืออะไรเหรอครับ
__________________
...สีชมพูจะไม่จางด้วยเหงื่อ แต่จะจางด้วยนํ้าลาย... |
#5
|
|||
|
|||
ถ้าหาค่า y ต่อ โดยแทน x = 4+5t ลงในสมการที่ให้มา จะได้ y = 5 -7t นั่นคือ (x, y) = (4 + 5t, 5-7t)
คำตอบที่คุณ wee หยิบมาจากหนังสือแปลว่า (x, y) = (-106 - 5t, 159+7t) ก็เป็นคำตอบที่สมมูลกับคำตอบ (x, y) = (4 + 5t, 5-7t) ครับ โดยแทน t ด้วย t+22 ลงในคำตอบ (x, y) = (-106 - 5t, 159+7t) ก็จะได้ (x, y) = (4 + 5t, 5-7t) ส่วนที่คุณ wee ตั้งข้อสังเกตว่าแทน t ด้วย -t นั้นก็ไม่ผิดครับ เพราะ t เป็นจำนวนเต็มใด ๆ ตราบใดที่เราแทน t ด้วย $\pm t + k$ ก็ยังได้คำตอบที่เป็นจำนวนเต็มเสมอ วิธีการที่ใช้ขั้นตอนวิธีการหารของยุุคลิด (ประยุกต์ทฤษฎีบทผลรวมเชิงเส้น) ข้างต้นนั้นเป็นวิธีการที่สามารถนำไปใช้ได้ทุกข้อครับ โดยอยู่บนทฤษฎีบทที่ว่าสมการ ax+by = c เมื่อ ห.ร.ม.ของ (a,b) หาร c ลงตัว แล้วคำตอบของสมการข้างต้นจะมีเสมอ เช่นสมการ 17x+ 19y = 2 |
หัวข้อคล้ายคลึงกัน | ||||
หัวข้อ | ผู้ตั้งหัวข้อ | ห้อง | คำตอบ | ข้อความล่าสุด |
ปัญหา Diophantine ที่แก้ยากมาก 24 ข้อ | Switchgear | ทฤษฎีจำนวน | 111 | 06 ธันวาคม 2010 19:13 |
Diophantine Eq. | beginner01 | ทฤษฎีจำนวน | 5 | 03 เมษายน 2010 14:51 |
Diophantine Equation | dektep | ทฤษฎีจำนวน | 30 | 19 กุมภาพันธ์ 2010 20:44 |
ใครบ้างรู้จักวิธีพิสูจน์ Diophantine ของ Ramanujan นี้บ้าง | Soopreecha | ทฤษฎีจำนวน | 10 | 27 กันยายน 2008 16:52 |
แจกหนังสือ Diophantine Cambridge | Soopreecha | ฟรีสไตล์ | 0 | 02 สิงหาคม 2008 14:55 |
|
|