โจทย์ matrix หา det ครับ

[catengland]

กำหนดให้ $ A = $ \[\left[\begin{array}{ccc}
2011^2 & 2012^2 & 2013^2 \\
2012^2 & 2013^2 & 2014^2 \\
2013^2 & 2014^2 & 2015^2
\end{array}\right]\] จงหาค่า detA

[PP_nine]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ catengland

กำหนดให้ $ A = $ \[\left[\begin{array}{ccc}
2011^2 & 2012^2 & 2013^2 \\
2012^2 & 2013^2 & 2014^2 \\
2013^2 & 2014^2 & 2015^2
\end{array}\right]\] จงหาค่า detA

ใช้ Row Operator ครับ

$C_3\, :\, C_3-C_2$ และ $C_2\, :\, C_2-C_1$
$$\vmatrix{2011^2 & 4023 & 4025 \\ 2012^2 & 4025 & 4027 \\ 2013^2 & 4027 & 4029} $$

$C_3\, :\, C_3-C_2$
$$\vmatrix{2011^2 & 4023 & 2 \\ 2012^2 & 4025 & 2 \\ 2013^2 & 4027 & 2} $$

$C_2\, :\, C_2-\dfrac{4023}{2}C_3$
$$\vmatrix{2011^2 & 0 & 2 \\ 2012^2 & 2 & 2 \\ 2013^2 & 4 & 2} $$

$C_3\, :\, C_3-C_2$
$$\vmatrix{2011^2 & 0 & 2 \\ 2012^2 & 2 & 0 \\ 2013^2 & 4 & -2} $$

$C_2\, :\, C_2+C_3$
$$\vmatrix{2011^2 & 2 & 2 \\ 2012^2 & 2 & 0 \\ 2013^2 & 2 & -2} $$

แตก det โดยใช้ $C_3$ เป็นหลัก
$$(2)\vmatrix{2012^2 & 2 \\ 2013^2 & 2} + (-2) \vmatrix{2011^2 & 2 \\ 2012^2 & 2}$$
$$=4(2012^2-2013^2-2011^2+2012^2)$$
$$=-8$$

ผิดตรงไหนทักท้วงได้นะครับ

[nooonuii]

เปลี่ยนเป็นการคำนวณด้วยสัญลักษณ์จะได้เอกลักษณ์สวยๆหน้าตาแบบนี้

$\vmatrix{(a-1)^2 & a^2 & (a+1)^2 \\ a^2 & (a+1)^2 & (a+2)^2 \\ (a+1)^2 & (a+2)^2 & (a+3)^2}=-8$

รูปแบบที่เป็นทั่วไปกว่าคือ

$\vmatrix{(a-1)^2 & a^2 & (a+1)^2 \\ (b-1)^2 & b^2 & (b+1)^2 \\ (c-1)^2 & c^2 & (c+1)^2}=-4(a-b)(b-c)(c-a)$

[catengland]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ nooonuii

รูปแบบที่เป็นทั่วไปกว่าคือ

$\vmatrix{(a-1)^2 & a^2 & (a+1)^2 \\ (b-1)^2 & b^2 & (b+1)^2 \\ (c-1)^2 & c^2 & (c+1)^2}=-4(a-b)(b-c)(c-a)$

พิสูจน์ให้ดูหน่อยครับ

[lek2554]

#4 ทดลองพิสูจน์ดูหรือยังครับ

[nooonuii]

กระจายออกมาเลยครับ ต้องอึดเล็กน้อยถึงปานกลาง

$[(a-1)b(c+1)]^2+[a(b+1)(c-1)]^2+[(a+1)(b-1)c]^2-[(a+1)b(c-1)]^2-[a(b-1)(c+1)]^2-[(a-1)(b+1)c]^2$

ดึงเทอมที่มี $a^2,b^2,c^2$ มาอยู่ด้วยกัน

$a^2[(bc-b+c-1)^2-(bc+b-c-1)^2]+b^2[(ac+a-c-1)^2-(ac-a+c-1)^2]+c^2[(ab-a+b-1)^2-(ab+a-b-1)^2]$

ใช้สูตรผลต่างกำลังสอง

$a^2[(2c-2b)(2bc-2)]+b^2[(2a-2c)(2ac-2)]+c^2[(2b-2a)(2ab-2)]$

$4[a^2(c-b)(bc-1)+b^2(a-c)(ac-1)+c^2(b-a)(ab-1)]$

มองทุกเทอมให้เป็นพหุนามกำลังสองในตัวแปร $a$

$4[(c-b)(bc-1)a^2+b^2(ca^2-(c^2+1)a+c)+c^2(-ba^2+(b^2+1)a-b)]$

$4[(bc^2-c-b^2c+b+b^2c-bc^2)a^2-(b^2c^2+b^2-b^2c^2-c^2)a+b^2c-bc^2]$

$4[(b-c)a^2-(b-c)(b+c)a+bc(b-c)]$

$4(b-c)[a^2-(b+c)a+bc]$

$4(b-c)(a-b)(a-c)$

$-4(a-b)(b-c)(c-a)$

[lek2554]

ท่าน nooonuii อึดมากครับ

ผมอึดสู้ไม่ได้ ผมใช้ row operation เอาครับ

[nooonuii]

ใช้ row operation ก็ง่ายดีครับ ผมเน้นอึดมากไปหน่อย

$\vmatrix{(a-1)^2 & a^2 & (a+1)^2 \\ (b-1)^2 & b^2 & (b+1)^2 \\ (c-1)^2 & c^2 & (c+1)^2}=\vmatrix{-2a+1 & a^2 & 2a+1 \\ -2b+1 & b^2 & 2b+1 \\ -2c+1 & c^2 & 2c+1}$

$=\vmatrix{2 & a^2 & 2a+1 \\ 2 & b^2 & 2b+1 \\ 2 & c^2 & 2c+1}$

$=2\vmatrix{1 & a^2 & 2a+1 \\ 1 & b^2 & 2b+1 \\ 1 & c^2 & 2c+1}$

$=2\vmatrix{1 & a^2 & 2a \\ 1 & b^2 & 2b \\ 1 & c^2 & 2c}$

$=4\vmatrix{1 & a^2 & a \\ 1 & b^2 & b \\ 1 & c^2 & c}$

$=-4\vmatrix{1 & a & a^2 \\ 1 & b & b^2 \\ 1 & c & c^2}$

ซึ่งตัวสุดท้ายนี้อาจจะใช้สูตร $\det$ ของ Vandermonde matrix ก็ได้ครับ

[~ArT_Ty~]

คือผมเห็นโจทย์เมตริกแบบหา det หลายๆข้อแล้ว อยากรู้ว่ามันมีหลักในการเลือกแถวที่จะทำ row operation ให้ง่ายๆยังไงอ่ะครับ

และผมก็ขอทฤษฎีเกี่ยวกับ det เมตริก หน่อยได้มั้ยอ่ะครับ

[nooonuii]

ทำให้ได้เมทริกซ์ขั้นบันไดครับ จะดูมีหลักการกว่าสุ่มเอา

แต่โจทย์บางข้ออาจจะโยงไปหารูปแบบเมทริกซ์ที่รู้ค่า $\det$ อยู่แล้ว

ผมว่าจำสูตรหา $\det$ ที่มีอยู่ในหนังสือม.ปลายให้ได้และนำไปใช้ให้เป็นก็พอแล้วล่ะ

สูตรที่ผมใช้บ่อยที่สุดคงเป็นการทำ row/column operation นี่แหละครับ

[bell18]

ท่าน nooonuii สุดยอดมากครับ !!!