ทำโจทย์กัน

[Nickname]

1.กำหนดให้ f(n)เป็นผลบวกของ n พจน์แรกของลำดับต่อไปนี้
0,1,1,2,2,3,3,4,4.....,r,r,r+1,r+1,.....
1.1 จงเขียนสูตรกำหนด f(n) สำหรับจำนวนเต็มบวกใดๆ
1.2 จงพิสูจน์ว่า f(s+t)-f(s-t)=st สำหรับจำนวนเต็มบวก sและ tซึ่ง s≻t

2.กำหนดให้ลำดับ $a_0,a_1,a_2,....$ สอดคล้องกับเงื่อนไข
$a_{m+n}+a_{m−n}=\frac{1}{2}(a_{2m}+a_{2n})$ สำหรับทุกจำนวนเต็ม m≥n ถ้า $a_1=1$
จงหา$a_{2003}$


3.สำหรับแต่ละจำนวนเต็มบวก n เรานิยามให้ $h(n)=1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3} +...+\frac{1}{n}$
จงพิสูจน์โดยไม่ใช้วิธีอุปนัยเชิงคณิตศาสตร์ว่า n+h(1)+h(2)+...+h(n−1)=nh(n)สำหรับ n=2,3,4,...

4.สำหรับแต่ละจำนวนเต็มบวก n จงพิสูจน์ว่า
$1−\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+...+\frac{1}{2n-1}=
\frac{1}{n} +\frac{1}{n+1} +...+\frac{1}{2n-1}$

ช่วยทำหน่อย(ต้องการด่วน)ขอบคุณครับ

[V.Rattanapon]

ข้อ 1.1 \[
{\rm f}\left( {\rm n} \right){\rm = }\left\{ {\frac{{{\rm n}^{\rm 2} }}{{\rm 4}}} \right.
\] เมื่อ n เป็นจำนวนเต็มคู่
\[
{\rm f}\left( {\rm n} \right){\rm = }\left\{ {\frac{{{\rm n}^{\rm 2} - 1}}{{\rm 4}}} \right.
\] เมื่อ n เป็นจำนวนเต็มคี่

[V.Rattanapon]

ข้อ 1.2 แบ่งเป็น 2 กรณี แล้วแทนค่าจากสมการในข้อ 1.1

ข้อ 2. จะได้ \[
a_n = n^2
\]
ดังนั้น \[
a_{2003} = 2003^2
\]

[Art_ninja]

3.

Non-Induction Solution

จัดรูปใหม่จะได้ว่า
$\begin{array}{rcl}
n+h(1)+h(2)+...+h(n-1)&=&n+(1)+(1+\frac{1}{2})+...+(1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+...+\frac{1}{n-1})\\
&=&n+(n-1)(1)+(n-2)(\frac{1}{2})+...+(1)(\frac{1}{n-1})\\
&=&[(n-1)(1)+1]+[(n-2)(\frac{1}{2})+1]+...+[(1)(\frac{1}{n-1})+1]+1\\
&=&n+\frac{n}{2}+\frac{n}{3}+...+\frac{n}{n-1}+\frac{n}{n}\\
&=&n(\sum_{k = 1}^{n} \frac{1}{k} )\\
&=&nh(n)\\
\end{array}$ ตามต้องการ

4.

My Solution

เช่นเดียวกับข้อ 3 ดำเนินการจัดรูป
$\begin{array}{rcl}
1−\frac{1}{2}+\frac{1}{3}-...+\frac{1}{2n-1}&=&\sum_{k = 1}^{2n-1} \frac{1}{k}-2\sum_{k=1}^{n-1} \frac{1}{2k}\\
&=&\sum_{k = 1}^{n} \frac{1}{k}-\sum_{k=1}^{n-1} \frac{1}{k}\\
&=&\sum_{k = n}^{2n-1} \frac{1}{k}
\end{array}$
ตามต้องการ

[Nickname]

ข้อ3และ4นี่ผมทำได้ตอนแรกๆแต่ตอนหลังจัดรูปไม่ได้ครับอย่างไรก็ตามขอขอบคุณพี่ๆมากเลยครับ

[Nickname]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ V.Rattanapon

ข้อ 1.1 \[
{\rm f}\left( {\rm n} \right){\rm = }\left\{ {\frac{{{\rm n}^{\rm 2} }}{{\rm 4}}} \right.
\] เมื่อ n เป็นจำนวนเต็มคู่
\[
{\rm f}\left( {\rm n} \right){\rm = }\left\{ {\frac{{{\rm n}^{\rm 2} - 1}}{{\rm 4}}} \right.
\] เมื่อ n เป็นจำนวนเต็มคี่

คิดอย่างไรครับ

[Nickname]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ V.Rattanapon

ข้อ 1.2 แบ่งเป็น 2 กรณี แล้วแทนค่าจากสมการในข้อ 1.1

ข้อ 2. จะได้ \[
a_n = n^2
\]
ดังนั้น \[
a_{2003} = 2003^2
\]

ข้อ2นี่คิดอย่างไรครับ