สอบถามผู้รู้เรื่องสมการ Diophantine (คนหัวโบราณ)

[wee]

สำหรับผู้ที่เคยเรียนเรื่องของสมการDiophantine คงจะทราบกันแล้วว่าเรามีสูตรสำเร็จสำหรับการหาคำตอบที่เป็นจำนวนเต็มของสมการ $7x+5y=53$ เพียงแต่ผมอยากทราบว่าถ้าผมไม่อยากใช้สูตรลัดจะมีวิธีหาคำตอบแบบแสดงวิธีทำหรือไม่

[RM@]

มีหลายวิธีครับ เช่น 7x + 5y = 53 จัดรูปเป็น 2x+ 5x + 5y = 50 + 3

2x - 3 = 50 - 5x - 5y

จะเห็นว่านิพจน์ทางด้านขวาของสมการ หารด้วย 5 ลงตัว

แสดงว่า 2x - 3 หารด้วย 5 ลงตัว (หรือเขียนว่า 5|2x-3)

แสดงว่า 6x - 9 หารด้วย 5 ลงตัว

แสดงว่า 5x + x - 5 - 4 หารด้วย 5 ลงตัว

แสดงว่า x - 4 หารด้วย 5 ลงตัว

ดังนั้น x - 4 = 5t หรือ x = 4 + 5t สำหรับจำนวนเต็ม t ใด ๆ

แล้วเอาไปแทนค่าในสมการที่ให้มา ก็จะได้ค่าของ y ครับ.

[wee]

บังเอิญผมไปอ่านหนังสือเลขแปลเป็นภาษาไทยของประเทศญี่ปุ่นเห็นผู้แต่งเขาเขียนเฉลยดูง่ายดี แต่พอไปอ่านในหนังสือทฤษฎีจำนวนเจอแต่เฉลยแบบการใช้สูตรผมจึงอยากรู้ว่ามันมีวิธีทำแบบอื่นอีกไหม
(โดยส่วนตัวผมต้องขอบอกก่อนนะครับว่าเฉลยแบบที่ผมพิมพ์นี้อาจจะดูว่าง่ายหรือเป็นวิธีทำที่มันอาจจะมีอยู่แล้วเพียงแต่ผมคงโง่เองที่เพิ ่งไปอ่านเจอ)
เฉลยแบบในหนังสือแปล
ขั้นตอนที่1: จากสมการ $7x+5y=53$.................................$(1)$
ให้เราหา หรม. ของ $7$ และ $5$ ก่อน โดยใช้ Division Algorithm
เราจะได้ว่า
$7=(5)(1)+2$
$5=(2)(2)+1$
และ $2=(1)(2)+0$
แสดงว่า หรม. ของ $7$ และ $5$ เท่ากับ $1$
ขั้นตอนที่2: นำ หรม. = $1$ มาเขียนในรูป linear combination
เราจะได้ว่า
$1=5-(2)(2)$
$1=5-(7-(5)(1))(2)$
$1=5-(7)(2)+(5)(2)$
$1=(5)(3)-(7)(2)$
$1=(5)(3)+(7)(-2)$
ดังนั้น $(5)(3)+(7)(-2)=1$............................$(2)$
ขั้นตอนที่3:นำ $53$ คูณตลอดสมการ $(2)$
$(5)(159)+(7)(-106)=53$..........................$(3)$
นำสมการ$(1)-(3)$
$(5)(y-159)+(7)(x+106)=0$
$(5)(y-159)=-(7)(x+106)$
หลังจากนั้นนำจำนวนเต็ม $t$ คูณเข้าทั้งสองข้างของสมการ
$(5t)(y-159)=-(7t)(x+106)$
แล้วใช้หลักการจับคู่เข้าช่วยในการพิจารณา
ดังนั้น $(y-159)=-7t$ และ $5t=(x+106)$
เราจะได้ว่า $y=159-7t$ และ $x=-106+5t$ โดยที่ $t$ เป็นจำนวนเต็ม
ผมรู้สึกเหมือนว่าวิธีนี้คือการพิสูจน์นั่นเองไม่รู้ใช่หรือไม่ ท่านเทพทั้งหลายช่วยบอกผมทีครับ

และผมได้ข้อสังเกตอีกอย่างหนึ่งว่า ถ้าเราแทน $t$ ด้วย $-t$
เราจะได้ว่าคำตอบคือ $y=159+7t$ และ $x=-106-5t$ โดยที่ $t$ เป็นจำนวนเต็ม
ซึ่งจะให้คำตอบออกมาเป็นจำนวนเต็มเหมือนกัน

[~ArT_Ty~]

หนังสืออะไรเหรอครับ

[RM@]

ถ้าหาค่า y ต่อ โดยแทน x = 4+5t ลงในสมการที่ให้มา จะได้ y = 5 -7t นั่นคือ (x, y) = (4 + 5t, 5-7t)

คำตอบที่คุณ wee หยิบมาจากหนังสือแปลว่า (x, y) = (-106 - 5t, 159+7t) ก็เป็นคำตอบที่สมมูลกับคำตอบ (x, y) = (4 + 5t, 5-7t) ครับ โดยแทน t ด้วย t+22 ลงในคำตอบ (x, y) = (-106 - 5t, 159+7t) ก็จะได้ (x, y) = (4 + 5t, 5-7t)

ส่วนที่คุณ wee ตั้งข้อสังเกตว่าแทน t ด้วย -t นั้นก็ไม่ผิดครับ เพราะ t เป็นจำนวนเต็มใด ๆ ตราบใดที่เราแทน t ด้วย $\pm t + k$ ก็ยังได้คำตอบที่เป็นจำนวนเต็มเสมอ

วิธีการที่ใช้ขั้นตอนวิธีการหารของยุุคลิด (ประยุกต์ทฤษฎีบทผลรวมเชิงเส้น) ข้างต้นนั้นเป็นวิธีการที่สามารถนำไปใช้ได้ทุกข้อครับ โดยอยู่บนทฤษฎีบทที่ว่าสมการ ax+by = c เมื่อ ห.ร.ม.ของ (a,b) หาร c ลงตัว แล้วคำตอบของสมการข้างต้นจะมีเสมอ เช่นสมการ 17x+ 19y = 2