โจทย์กรณฑ์ ทำไม่ได้ครับ

[truetaems]

จงหาค่าของ
1. $\frac{\sqrt{20}+\sqrt{14}-\sqrt{16}}{\sqrt{50}+\sqrt{35}-\sqrt{15}}$

2. $\frac{1}{2-\sqrt{2}+\sqrt{3}-\sqrt{6}}$

3. $\frac{1}{\sqrt{10}+\sqrt{15}+\sqrt{14}+\sqrt{21}}$

[กิตติ]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ truetaems

2. $\frac{1}{2-\sqrt{2}+\sqrt{3}-\sqrt{6}}$

$2-\sqrt{2}+\sqrt{3}-\sqrt{6}=(\sqrt{3}-\sqrt{2})(1-\sqrt{2} )$
$\frac{1}{2-\sqrt{2}+\sqrt{3}-\sqrt{6}}$
$=\frac{1}{(\sqrt{3}-\sqrt{2})(1-\sqrt{2} )} $
$=-(\sqrt{3}+\sqrt{2})(1+\sqrt{2})$

กระจายต่อเองน่าจะได้

[กิตติ]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ truetaems

จงหาค่าของ
3. $\frac{1}{\sqrt{10}+\sqrt{15}+\sqrt{14}+\sqrt{21}}$

$\sqrt{10}+\sqrt{15}+\sqrt{14}+\sqrt{21}$
$=(\sqrt{5}+\sqrt{7})(\sqrt{2}+\sqrt{3} )$

ทำต่อแบบข้อสอง คูณด้วยจำนวนสังยุคของทั้งสองจำนวนก็น่าจะได้ ทำต่อเองแล้วกันครับ

[truetaems]

ขอบคุณมากครับ ^^

[truetaems]

เหลือข้อ 1 ครับ คิดหลายรอบยังไม่ได้สักที T_T

[truetaems]

4. $\frac{11}{2+\sqrt{3}+\sqrt{5} }$

[Hirokana]

$=\frac{11((2+\sqrt{3})-\sqrt{5})}{(2+\sqrt{3})^2-(\sqrt{5})^2}$
$=\frac{11(2+\sqrt{3}-\sqrt{5})}{(4+4\sqrt{3}+3)-5}$
$=\frac{11(2+\sqrt{3}-\sqrt{5})}{2(2\sqrt{3}+1)}$
$=\frac{11(2+\sqrt{3}-\sqrt{5})(2\sqrt{3}-1)}{2((2\sqrt{3})^2-1^2)}$
$=\frac{11(2+\sqrt{3}-\sqrt{5})(2\sqrt{3}-1)}{2(11)}$
$=\frac{(2+\sqrt{3}-\sqrt{5})(2\sqrt{3}-1)}{2}$

[Jade1209]

1 hint:

ดึงรูท2ตรงเศษและดึงรูท5 ตรงส่วนออกมาแล้วจะทำให้เกิดส่วนที่ตัดกันได้ขึ้นมา

[truetaems]

เหลืออีกข้อครับ
จงหาค่าของ $\frac{2\sqrt{14}(\sqrt{3\sqrt{3}-\sqrt{2}-\sqrt{6}+3})}{(\sqrt{3\sqrt{3}-\sqrt{2}+\sqrt{6}-3})}$

[กิตติ]

ลองเอา $\sqrt{3\sqrt{3}-\sqrt{2}-\sqrt{6}+3 } $ คูณทั้งเศษและส่วนดู

[truetaems]

ขอบคุณครับ โจทย์กรณฑ์ที่ผมทำไม่ได้จะใส่ในหัวข้อนี้เรื่อยๆนะครับ
x.จงหาค่าของ $\sqrt[4]{137-36\sqrt{14}}$

[กิตติ]

ข้อแรก ถ้าทำตามที่มีคนแนะนำไว้จะได้ว่า
$\frac{\sqrt{20}+\sqrt{14}-\sqrt{16}}{\sqrt{50}+\sqrt{35}-\sqrt{15}}$

$=\frac{\sqrt{2} \left(\,\sqrt{10}+\sqrt{7} -2\sqrt{2} \right) }{\sqrt{5} \left(\,\sqrt{10}+\sqrt{7} -\sqrt{3} \right) } $

ไม่มีการตัดกันระหว่างเศษกับส่วน น่าจะจบด้วยการคูณด้วย $\sqrt{7}-\sqrt{3}-\sqrt{10} $ เมื่อคูณกับ $\sqrt{10}+\sqrt{7} -\sqrt{3}$ จะได้ $\left(\,-2\sqrt{21}\right) $ ในการแปลง เราต้องการแปลงให้ส่วนเป็นจำนวนเต็ม

[กิตติ]

$\sqrt[4]{137-36\sqrt{14}}$ ข้อนี้ไม่ง่าย คุ้นๆว่าเคยมีคนมาถามในนี้แล้ว ต้องระดับคุณNoooNuiถึงจะแก้ออก
ข้อนี้ผมขอคิดก่อน

[nooonuii]

ไม่ใช่ผมก็ทำได้นะครับ ไม่ยากอย่างที่คิด

$137-36\sqrt{14}=137-2\sqrt{81\cdot 56}=(9-2\sqrt{14})^2=(\sqrt{7}-\sqrt{2})^4$

[กิตติ]

ข้อ $\sqrt[4]{137-36\sqrt{14}}$
ลองสังเกต $(\sqrt{3}-\sqrt{2} )^2=5-2\sqrt{6} $
$(5-2\sqrt{6})^2=37-20\sqrt{6}=(\sqrt{3}-\sqrt{2})^4 $
ดังนั้น $\sqrt[4]{137-36\sqrt{14}}$ จึงน่าจะเขียนออกมาในรูป $\sqrt[4]{(a-b\sqrt{14})^2}$
$(a-b\sqrt{14})^2=a^2+14b^2-2ab\sqrt{14}$ เมื่อเทียบพจน์ต่อพจน์แล้วจะได้ว่า
$a^2+14b^2=137$.....(1)
$ab=18$......(2)
จากสมการ (1) จะเห็นว่า $a$ เป็นเลขคี่ และ $b$ เป็นเลขคู่
ลองแยกตัวประกอบของ $18$ ได้สามคู่คือ $18-1,9-2,6-3$
ลองแทนได้ค่าคือ $a=9,b=2$
จะได้ว่า $\sqrt[4]{137-36\sqrt{14}}=\sqrt{9-2\sqrt{14} }=\sqrt{7+2-2\sqrt{2} \sqrt{7} } $
$=\sqrt{(\sqrt{7} -\sqrt{2} )^2} $
$=\sqrt{7} -\sqrt{2}$