ช่วยสอนทำข้อนี้หน่อยครับ calculus of vector-valued

[ultarlight]

r" = (4sin2t)i+ 6tj + e^-tk, r(0) = 2i, and r'(0) = k

[nooonuii]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ ultarlight

$r" = (4\sin{2t}) i+ 6t j + e^-t k, r(0) = 2 i,$ and $r'(0) = k$

แก้สมการเชิงอนุพันธ์ทีละั component ครับ

$r'(t)=(-2\cos{2t}+a_1)i + (3t^2+b_1)j + (-e^{-t}+c_1)k$

แทนค่า $t=0$ จะได้

$r'(0)=(a_1-2)i + b_1j + (c_1-1)k$

แต่จากเงื่อนไขเริ่มต้น

$r'(0)=k=0i+0j+1k$

เทียบกันจะได้ $a_1=2,b_1=0,c_1=2$

ดังนั้น

$r'(t)=(2-2\cos{2t})i + 3t^2j + (2-e^{-t})k$

จึงได้

$r(t)=(2t-\sin{2t}+a_2)i+(t^3+b_2)j+(2t+e^{-t}+c_2)k$

แทนค่า $t=0$ จะได้

$r(0)=a_2i + b_2 j+ (c_2+1) k$

แต่จากเงื่อนไขเริ่มต้น

$r(0)=2i=2i+0j+0k$

เทียบกันจะได้ $a_2=2,b_2=0,c_2=-1$

ดังนั้น

$r(t)=(2+2t-\sin{2t})i+t^3j+(e^{-t}+2t-1)k$