ดูให้หน่อย ทำผิดตรงไหนครับ (หา Flux,vector analysis)

[thai_be]

สวัสดีครับ

คือผมเพิ่งเรียนบทนี้, อ่าน theory มาบ้างแล้ว, ก็เลยมาทำแบบฝึกหัดดู แต่มันไม่ได้อ่ะครับ มันไม่ง่ายอย่างที่เราคิดไว้
ใครรู้แนะนำผมทีครับ

ขอบคุณครับ

[คุณชายน้อย]

แก้ตามนี้ครับ


การคำนวณด้วย Maple เป็นแค่การตรวจสอบคำตอบเท่านั้น คุณควรจะฝึกเขียน solution ต่าง ๆ ให้อยู่ในรูปอินทิกรัล ในเรื่องนี้เป็นการหา flux บน Surface ของทรงกลม $x^2+y^2+z^2 = 4$ เวลาคำนวณจะอยู่ในรูปของอินทิกรัลสองชั้นบนบริเวณ R ในระนาบ XY คือ $x^2+y^2 = 4$ จะพบว่าในค่าอินทิแกรนด์ที่คำนวณในอินทิกรัลมีค่า z เป็นบวกและเป็นลบ จึงพบว่า flux มีค่าเป็นบวกเมื่อ Surface อยู่เหนือระนาบ XY และ flux มีค่าเป็นลบเมื่อ Surface อยู่ใต้ระนาบ XY ณ.ที่นี้จะได้ว่า flux บน Surface ของทรงกลมที่อยู่เหนือระนาบ XY คือ $\frac{52\pi}{3} $ และ flux บน Surface ของทรงกลมที่ใต้ระนาบ XY คือ $\frac{-20\pi}{3} $ เมื่อรวมกันแล้ว flux = $\frac{52\pi}{3}-\frac{20\pi}{3} = \frac{32\pi}{3}$ ครับผม ...

[thai_be]

ขอโทษนะครับ ผมแก้ตามที่ท่านบอกแล้ว แต่ว่ามันยังเป็นเหมือนเดิมนะครับ ได้ 0 เหมือนเดิม
ครับ แล้วผมจะฝึกเขียนนะครับ

[คุณชายน้อย]

ขออภัย เปลี่ยนใหม่ดังรูป เขียนตัวแปรวิ่งผิดไปครับ


ผมไม่ได้ตรวจสอบกับ maple เพราะไม่ค่อยชอบค่ายนี้ ชอบค่าย Mathematica ตรวจสอบให้แล้วนะครับ (ใช้ v12) แต่การคำนวณได้คำตอบติดลบเพราะคิดแบบ inward คือการคำนวณจากเวกเตอร์ที่ตั้งฉากพื้นผิวจากด้านในครับ ต้องระวังถ้าจะนำ procedure พวกสำเร็จรูปมาใช้ เพราะมีเงื่อนไข และข้อจำกัดของมันที่เราไม่รู้ครับ (งมหามาให้) เพราะไม่แตะโปรแกรมนี้เลย แค่รู้ว่าเป็นอย่างไร ทางที่ดี คุณต้องคำนวณให้ได้ในรูป integral แล้วจะพบว่า sure ดีที่สุด (เพราะทุกข้อ ผมทำอย่างนั้นครับ)

[thai_be]

ผมไม่เข้าใจที่มาของ parameter x, y, z และขอบเขตนะครับ

ขอรบกวนคุณชายน้อย ช่วยบอกวิธีการหา parameter ได้ไหมครับ เผื่อคนรุ่นหลังที่ไม่เข้าใจ เค้าจะได้มาดูได้ด้วยนะครับ
แล้วก็วิธี divergent นะครับ

ขอบพระคุณมากครับ

[คุณชายน้อย]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ thai_be

ผมไม่เข้าใจที่มาของ parameter x, y, z และขอบเขตนะครับ

ขอรบกวนคุณชายน้อย ช่วยบอกวิธีการหา parameter ได้ไหมครับ เผื่อคนรุ่นหลังที่ไม่เข้าใจ เค้าจะได้มาดูได้ด้วยนะครับ
แล้วก็วิธี divergent นะครับ

ขอบพระคุณมากครับ

การกำหนด parameter จะเหมือนกับการเปลี่ยนสมการหรือฟังก์ชันให้อยู่ในระบบพิกัดเชิงขั้ว และระบบพิกัดทรงกลม และระบบพิกัดทรงกระบอก ลองศึกษาระบบพิกัดพวกนี้ก่อน แล้วจะเข้าใจเองครับ ส่วนขอบเขตนั้นเข้าใจว่าได้อธิบายไปแล้วครับว่าคิดอย่างไร และ divergent เข้าใจว่าน่าจะพูดถึง Divergence Theorem ที่ใช้ Green's Theorem มาช่วยแปลงอินทิกรัลสองชั้นบนพื้นผิว S ให้อยู่ในรูปอินทิกรัลสามชั้นบนทรงตัน G

จะสังเกตว่า การคำนวณทั้งหมดในเรื่องแคลคูลัสเวกเตอร์ จะแปลงให้อยู่ในรูปอินทิกรัล 2 และ 3 ชั้น ในระบบพิกัดต่าง ๆ จะเข้าใจเรื่องนี้ได้ดี ต้องกลับไปศึกษาแคลคูลัสปกติ (สเกลาร์) ในเรื่อง 2 ชั้น และ 3 ชั้น แล้วจะเห็นว่าเรื่องแคลคูลัสเวกเตอร์ไม่ยากอย่างที่คิดครับ

ส่วนการอธิบายต้องถามมาเป็นจุด เป็นจุด ครับ เพราะสามารถอ่านได้ตามหนังสือทั่วไปครับ ... และยังไม่แน่ใจว่าสามารถตอบได้แค่ไหนด้วยครับ ขอบคุณครับ..

[thai_be]

ช่วยตรวจให้ผมหน่อยสิครับ ว่าผมทำผิดตรงไหน

ผมหาขอบเขตมันโดยการ ใช้สมการมัน แต่ให้ z = 0, ไม่รู้ว่าทำแบบนี้ได้ไหม แต่ว่าครูอีกคนนึงเค้าบอกว่าทำได้

[คุณชายน้อย]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ thai_be

ช่วยตรวจให้ผมหน่อยสิครับ ว่าผมทำผิดตรงไหน

ดูรูปเองก็แล้วกันครับ


ผมเคยบอกแล้วว่า คุณควรจะเริ่มศึกษาการคำนวณในแคลคูลัสเวกเตอร์ โดยเขียนให้อยู่ในรูปอินทิกรัลสองชั้น สามชั้น ให้ได้ ไม่อย่างนั้น จะเกิด miss concept อยู่บ่อย ๆ แต่ก็อาจจะเกิดจากผู้สอนที่ให้ concept ที่ไม่เพียงพอ หรือไม่ชัดเจนในการอธิบายความสัมพันธ์ต่าง ๆ

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ thai_be

ผมหาขอบเขตมันโดยการ ใช้สมการมัน แต่ให้ z = 0, ไม่รู้ว่าทำแบบนี้ได้ไหม แต่ว่าครูอีกคนนึงเค้าบอกว่าทำได้

อย่างเช่นลักษณะการอธิบาย z = 0 มันหมายถึงความสัมพันธ์อะไรในเรื่อง Flux ครูต้องอธิบายให้เข้าใจก่อน จึงจะรู้ว่ากำลังทำอะไรอยู่ในเรื่องแคลคูลัสเวกเตอร์

ที่จริง ที่คุณกำลังคำนวณอยู่เป็นการคิดแบบ z = 0 (อะไรคือ z = 0) นั่นนะซิ โปรดติดตาม... ต่อ เดี๋ยวจะมาขยายความ...

[คุณชายน้อย]

เอาล่ะ เรามาเริ่มจากสนามเวกเตอร์ F ที่กำหนดดังรูป


จงหา flux ของ $\vec F$ (เฉลยตอบ $\frac{3\pi}{2} $)

เพราะฉะนั้น $\vec F = x \vec i~+y\vec j+z\vec k = x \vec i~+y\vec j+(1-x^2-y^2)\vec k$ จะพบว่าโจทย์กำหนดสนามเวกเตอร์ F บน S ที่อยู่บนระนาบ XY ซึ่งต่อไปจะเขียนแทนด้วย $S_{XY}$ ดังนั้น โจทย์เต็ม ๆ ของข้อนี้ก็คือ จงหา flux ของ $\vec F$ บน S ที่อยู่บนระนาบ XY (ซึ่งหมายถึง z = 0 นั่นเอง)

การคำนวณใน Flux จะคำนวณบนโดเมน S ส่วนใหญ่โดเมน S ที่คำนวณจะอยู่บนระนาบ XY หรือ XZ หรือ YZ ทำให้มีการคำนวณอยู่ 3 แบบ (และแต่ละแบบสามารถคำนวณได้อีก 2 วิธี) รวมการคำนวณทั้งหมดมี 6 วิธี
วิธีที่ 1 : คำนวณโดเมน S บนระนาบ XY (หรือระนาบ z = 0) โดยอินทิกรัลที่ได้อยู่ในรูป dy dx
วิธีที่ 2 : คำนวณโดเมน S บนระนาบ XY (หรือระนาบ z = 0) โดยอินทิกรัลที่ได้อยู่ในรูป dx dy
วิธีที่ 3 : คำนวณโดเมน S บนระนาบ XZ (หรือระนาบ y = 0) โดยอินทิกรัลที่ได้อยู่ในรูป dz dx
วิธีที่ 4 : คำนวณโดเมน S บนระนาบ XZ (หรือระนาบ y = 0) โดยอินทิกรัลที่ได้อยู่ในรูป dx dz
วิธีที่ 5 : คำนวณโดเมน S บนระนาบ YZ (หรือระนาบ x = 0) โดยอินทิกรัลที่ได้อยู่ในรูป dz dy
วิธีที่ 6 : คำนวณโดเมน S บนระนาบ YZ (หรือระนาบ x = 0) โดยอินทิกรัลที่ได้อยู่ในรูป dy dz

การคำนวณแบบที่ 1 : คำนวณโดเมน S บนระนาบ XY


$~~~$สูตรที่ใช้คือ flex of $\vec F$ over S = $\int \int_{S_{XY}}^{}\,\vec F~.~ \vec n ~ d\rho $ โดยที่ $\overrightarrow{n} $ เป็น Normal Vector ที่ตั้งฉากพื้นผิว S และ $\rho$ แทนพื้นผิวของ S
เราสามารถเขียนสูตรให้อยู่ในรูปของสเกลาร์ f ได้ดังนี้
$$flex ~ of ~ \vec F ~ over ~ S = \int \int_{S_{XY}}^{}\, (-Pf_x-Qf_y+R) ~ dA $$
โดยที่ $\vec F = P\vec i+Q\vec j+R\vec k$ และ f เป็นฟังก์ชันของ x,y
$~~~$ เราจะต้องหาฟังก์ชัน f(x,y) ให้ได้เสียก่อน ซึ่งก็คือ $f(x,y) = z = 1-x^2-y^2$ ซึ่งเป็นกราฟพาราโบลอยด์ : paraboloid (สะกดแบบนี้ครับ) (จะพบว่าเป็นการคำนวณบน $S_{XY}$ ในรูปแบบที่ 1 ด้านซ้าย) การคำนวณต้อง Simplify โจทย์เพื่อให้ได้คำตอบที่ถูกต้อง จะพบว่า f(x,y) อยู่เหนือระนาบ XY แสดงว่า flux เป็นบวก และจะพบว่าบริเวณ $S_{XY}$ สามารถแบ่งออกเป็น 4 ส่วนที่เท่า ๆ กัน แสดงว่า flux บน $S_{XY}$ = 4 เท่าของ flux บน $R_{XY}$ ในรูปแบบที่ 1 ด้านขวา จะได้ว่า
$flex ~ of ~ \vec F ~ over ~ S = \int \int_{S_{XY}}^{}\, (-Pf_x-Qf_y+R) ~ dA $
$~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~
= 4~\int \int_{R_{XY}}^{}\, (-Pf_x-Qf_y+R) ~ dA $
$~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~
= 4~\int \int_{R_{XY}}^{}\, ((-x)(-2x) -y(-2y)+z) ~ dA $
$~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~
(เมื่อ ~z = 1-x^2-y^2 , P = x , Q = y , R = z , f_x = -2x , f_y = -2y )$
$~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~
= 4~\int \int_{R_{XY}}^{}\, (1+x^2+y^2) ~ dA $
$~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~
= 4~\int_{0}^{1} \int_{0}^{\sqrt{1-x^2} }\, (1+x^2+y^2) ~ dy~dx ~~ (วิธีที่ 1) $
$~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~
หรือ~4~\int_{0}^{1} \int_{0}^{\sqrt{1-y^2} }\, (1+x^2+y^2) ~ dx~dy ~~ (วิธีที่ 2) $
$~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~
=4~\frac{3\pi}{8} = \frac{3\pi}{2} $


การคำนวณแบบที่ 2 : คำนวณโดเมน S บนระนาบ XZ


$~~~$สูตรที่ใช้คือ flex of $\vec F$ over S = $\int \int_{S_{XZ}}^{}\,\vec F~.~ \vec n ~ d\rho $ โดยที่ $\overrightarrow{n} $ เป็น Normal Vector ที่ตั้งฉากพื้นผิว S และ $\rho$ แทนพื้นผิวของ S
เราสามารถเขียนสูตรให้อยู่ในรูปของสเกลาร์ f ได้ดังนี้
$$flex ~ of ~ \vec F ~ over ~ S = \int \int_{S_{XZ}}^{}\, (-Pf_x+Q-Rf_z) ~ dA $$
โดยที่ $\vec F = P\vec i+Q\vec j+R\vec k$ และ f เป็นฟังก์ชันของ x,z
$~~~$ เราจะต้องหาฟังก์ชัน f(x,z) ให้ได้เสียก่อน ซึ่งก็คือ $f(x,z) = y = \pm \sqrt{1-x^2-z} $ (จะพบว่าเป็นการคำนวณบน $S_{XZ}$ ในรูปแบบที่ 2 ด้านซ้าย) การคำนวณต้อง Simplify โจทย์เพื่อให้ได้คำตอบที่ถูกต้อง จะพบว่า f(x,z) อยู่ทางขวา(อาจเรียกว่าเหนือก็ได้) ระนาบ XZ และอยู่ทางซ้าย(อาจเรียกว่าใต้ก็ได้) ระนาบ XZ (การคำนวณ flux เหนือระนาบเป็นบวก และใต้ระนาบเป็นลบ และผลลัพธ์ไม่เท่ากันเสมอไป ต้องแยกการคำนวณเหนือระนาบ และใต้ระนาบ) และจะพบว่าบริเวณ $S_{XZ}$ สามารถแบ่งออกเป็น 2 ส่วนที่เท่า ๆ กัน ในรูปแบบที่ 2 ด้านขวา จะได้ว่า
$flex ~ of ~ \vec F ~ over ~ S ~ (เหนือระนาบ XZ) $
$~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~
= \int \int_{S_{XZ}}^{}\, (-Pf_x+Q-Rf_z) ~ dA ~ (พิจารณา f(x,z) = \sqrt{1-x^2-z}) $
$~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~
= 2~\int \int_{R_{XZ}}^{}\, ((-x)\frac{-x}{\sqrt{1-x^2-z} } +y-z\frac{-1}{2\sqrt{1-x^2-z} } ) ~ dA $

$~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~
(เมื่อ ~y = \sqrt{1-x^2-z} , P = x , Q = y , R = z , f_x = \frac{-x}{\sqrt{1-x^2-z} } , f_z =\frac{-1}{2\sqrt{1-x^2-z} } )$

$~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~
= 2~\int \int_{R_{XZ}}^{}\, (\frac{x^2}{\sqrt{1-x^2-z} } +\sqrt{1-x^2-z} +\frac{z}{2\sqrt{1-x^2-z} } ) ~ dA $
$~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~
= 2~\int_{0}^{1} \int_{0}^{1-x^2 }\, ( \frac{x^2}{\sqrt{1-x^2-z} } +\sqrt{1-x^2-z} +\frac{z}{2\sqrt{1-x^2-z} } ) ~ dz~dx ~~ (วิธีที่ 3) $
$~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~
หรือ~2~\int_{0}^{1} \int_{0}^{\sqrt{1-z} }\, ( \frac{x^2}{\sqrt{1-x^2-z} } +\sqrt{1-x^2-z} +\frac{z}{2\sqrt{1-x^2-z} } ) ~ dx~dz ~~ (วิธีที่ 4) $
$~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~
=2~\frac{3\pi}{8} = \frac{3\pi}{4} $

และจะได้ว่า
$flex ~ of ~ \vec F ~ over ~ S ~ (ใต้ระนาบ XZ) $
$~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~
= (-1)~\int \int_{S_{XZ}}^{}\, (-Pf_x+Q-Rf_z) ~ dA ~ (พิจารณา f(x,z) = -\sqrt{1-x^2-z}) $
$~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~
= (-2)~\int \int_{R_{XZ}}^{}\, ((-x)\frac{x}{\sqrt{1-x^2-z} } +y-z\frac{1}{2\sqrt{1-x^2-z} } ) ~ dA $

$~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~
(เมื่อ ~y = -\sqrt{1-x^2-z} , P = x , Q = y , R = z , f_x = \frac{x}{\sqrt{1-x^2-z} } , f_z =\frac{1}{2\sqrt{1-x^2-z} } )$

$~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~
= (-2)~\int \int_{R_{XZ}}^{}\, (\frac{-x^2}{\sqrt{1-x^2-z} } -\sqrt{1-x^2-z} -\frac{z}{2\sqrt{1-x^2-z} } ) ~ dA $
$~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~
= (-2)~\int_{0}^{1} \int_{0}^{1-x^2 }\, ( \frac{-x^2}{\sqrt{1-x^2-z} } -\sqrt{1-x^2-z} -\frac{z}{2\sqrt{1-x^2-z} } ) ~ dz~dx ~~ (วิธีที่ 3) $
$~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~
หรือ~(-2)~\int_{0}^{1} \int_{0}^{\sqrt{1-z} }\, ( \frac{-x^2}{\sqrt{1-x^2-z} } -\sqrt{1-x^2-z} -\frac{z}{2\sqrt{1-x^2-z} } ) ~ dx~dz ~~ (วิธีที่ 4) $
$~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~
=(-2)~\frac{-3\pi}{8} = \frac{3\pi}{4} $

ดังนั้น $flex ~ of ~ \vec F ~ over ~ S ~=~ \frac{3\pi}{4}+(\frac{3\pi}{4}) = \frac{3\pi}{2}$

การคำนวณแบบที่ 3 : คำนวณโดเมน S บนระนาบ YZ


$~~~$สูตรที่ใช้คือ flex of $\vec F$ over S = $\int \int_{S_{YZ}}^{}\,\vec F~.~ \vec n ~ d\rho $ โดยที่ $\overrightarrow{n} $ เป็น Normal Vector ที่ตั้งฉากพื้นผิว S และ $\rho$ แทนพื้นผิวของ S
เราสามารถเขียนสูตรให้อยู่ในรูปของสเกลาร์ f ได้ดังนี้
$$flex ~ of ~ \vec F ~ over ~ S = \int \int_{S_{YZ}}^{}\, (P-Qf_y-Rf_z) ~ dA $$
โดยที่ $\vec F = P\vec i+Q\vec j+R\vec k$ และ f เป็นฟังก์ชันของ y,z
$~~~$ เราจะต้องหาฟังก์ชัน f(y,z) ให้ได้เสียก่อน ซึ่งก็คือ $f(y,z) = x = \pm \sqrt{1-y^2-z} $ (จะพบว่าเป็นการคำนวณบน $S_{YZ}$ ในรูปแบบที่ 3 ด้านซ้าย) การคำนวณต้อง Simplify โจทย์เพื่อให้ได้คำตอบที่ถูกต้อง จะพบว่า f(y,z) อยู่เหนือระนาบ YZ และอยู่ใต้ระนาบ YZ (การคำนวณ flux เหนือระนาบเป็นบวก และใต้ระนาบเป็นลบ และผลลัพธ์ไม่เท่ากันเสมอไป ต้องแยกการคำนวณเหนือระนาบ และใต้ระนาบ) และจะพบว่าบริเวณ $S_{YZ}$ สามารถแบ่งออกเป็น 2 ส่วนที่เท่า ๆ กัน ในรูปแบบที่ 3 ด้านขวา จะได้ว่า
$flex ~ of ~ \vec F ~ over ~ S ~ (เหนือระนาบ YZ) $
$~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~
= \int \int_{S_{YZ}}^{}\, (P-Qf_y-Rf_z) ~ dA ~ (พิจารณา f(y,z) = \sqrt{1-y^2-z}) $
$~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~
= 2~\int \int_{R_{YZ}}^{}\, (x -y\frac{-y}{\sqrt{1-y^2-z} } -z\frac{-1}{2\sqrt{1-y^2-z} } ) ~ dA $

$~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~
(เมื่อ ~x = \sqrt{1-y^2-z} , P = x , Q = y , R = z , f_y = \frac{-y}{\sqrt{1-y^2-z} } , f_z =\frac{-1}{2\sqrt{1-y^2-z} } )$

$~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~
= 2~\int \int_{R_{YZ}}^{}\, (\sqrt{1-y^2-z} +\frac{y^2}{\sqrt{1-y^2-z} } +\frac{z}{2\sqrt{1-y^2-z} } ) ~ dA $
$~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~
= 2~\int_{0}^{1} \int_{0}^{1-y^2 }\, ( \sqrt{1-y^2-z} +\frac{y^2}{\sqrt{1-y^2-z} } +\frac{z}{2\sqrt{1-y^2-z} } ) ~ dz~dy ~~ (วิธีที่ 5) $
$~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~
หรือ~2~\int_{0}^{1} \int_{0}^{\sqrt{1-z} }\, ( \sqrt{1-y^2-z} +\frac{y^2}{\sqrt{1-y^2-z} } +\frac{z}{2\sqrt{1-y^2-z} } ) ~ dy~dz ~~ (วิธีที่ 6) $
$~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~
=2~\frac{3\pi}{8} = \frac{3\pi}{4} $

และจะได้ว่า
$flex ~ of ~ \vec F ~ over ~ S ~ (ใต้ระนาบ YZ) $
$~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~
= (-1)~\int \int_{S_{YZ}}^{}\, (P-Qf_y-Rf_z) ~ dA ~ (พิจารณา f(y,z) = -\sqrt{1-y^2-z}) $
$~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~
= (-2)~\int \int_{R_{YZ}}^{}\, (x -y\frac{y}{\sqrt{1-y^2-z} } -z\frac{1}{2\sqrt{1-y^2-z} } ) ~ dA $

$~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~
(เมื่อ ~x = \sqrt{1-y^2-z} , P = x , Q = y , R = z , f_y = \frac{y}{\sqrt{1-y^2-z} } , f_z =\frac{1}{2\sqrt{1-y^2-z} } )$

$~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~
= (-2)~\int \int_{R_{YZ}}^{}\, (-\sqrt{1-y^2-z} -\frac{y^2}{\sqrt{1-y^2-z} } -\frac{z}{2\sqrt{1-y^2-z} } ) ~ dA $
$~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~
= (-2)~\int_{0}^{1} \int_{0}^{1-y^2 }\, ( -\sqrt{1-y^2-z} -\frac{y^2}{\sqrt{1-y^2-z} } -\frac{z}{2\sqrt{1-y^2-z} } ) ~ dz~dy ~~ (วิธีที่ 5) $
$~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~
หรือ~(-2)~\int_{0}^{1} \int_{0}^{\sqrt{1-z} }\, ( -\sqrt{1-y^2-z} -\frac{y^2}{\sqrt{1-y^2-z} } -\frac{z}{2\sqrt{1-y^2-z} } ) ~ dy~dz ~~ (วิธีที่ 6) $
$~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~
=(-2)~\frac{-3\pi}{8} = \frac{3\pi}{4} $

ดังนั้น $flex ~ of ~ \vec F ~ over ~ S ~=~ \frac{3\pi}{4}+(\frac{3\pi}{4}) = \frac{3\pi}{2}$

ขอบคุณครับ... จบเสียที

[gnopy]

ข้อนี้โดยทบ divergence น่าจะได้นะครับ ไม่ต้องหาทีละส่วน

[thai_be]

ขอบคุณมากเลยครับคุณชายน้อย คนที่กำลังจะเรียนเรื่องนี้จะได้มาอ่านได้ด้วย

ผมเลยมีแบบฝึกหัดมาอีกข้อครับ ผมทำแบบ divergence ดู, เพราะว่าทำอีกวิธีไม่เป็น
ช่วยตรวจให้หน่อยครับ ว่าทำไมผมทำผิด

[คุณชายน้อย]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ gnopy

ข้อนี้โดยทบ divergence น่าจะได้นะครับ ไม่ต้องหาทีละส่วน

ขอบคุณครับ พอดี เจ้าของโจทย์ถามบนระนาบ XY (หรือระนาบ z = 0) เลยต้องตะลุยทำบนระนาบต่าง ๆ ครับ
เอาล่ะ ก็มาถึงพระเอกของเราเสียที The Divergence Theorem จะมี Apply ไปสู่ Flux ได้ก็คือ

$Flux = \int\!\!\!\int\,\int_{G}^{}\,div~\vec F~dV$ เมื่อ G เป็นรูปทรงตัน $z = 1-x^2-y^2 $ และ $\vec F(x,y,z) = x \vec i + y \vec j + z \vec k$
$~~~~~~= \int_{0}^{2\pi}\,\int_{0}^{1}\,\int_{0}^{1-r^2}\,3r~dz dr d\theta~~(ระบบพิกัดทรงกระบอก) $
$~~~~~~= \frac{3\pi}{2}$

[คุณชายน้อย]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ thai_be

ผมเลยมีแบบฝึกหัดมาอีกข้อครับ ผมทำแบบ divergence ดู, เพราะว่าทำอีกวิธีไม่เป็น
ช่วยตรวจให้หน่อยครับ ว่าทำไมผมทำผิด

คุณต้องเริ่มคำนวณอินทิกรัลสองชั้น สามชั้น ให้ได้ซะก่อน (และ NOW) ไม่อย่างนั้น จะ Confirm คำตอบไม่เป็นครับ

$flux = \int\!\!\!\int\, \int_{G}^{}\,div~F~dV $
เมื่อ G เป็นรูปทรงตัน $z = \sqrt{x^2+y^2}$ และ $\vec F(x,y,z) = (2x-y)\vec i+(y-2z)\vec j+(2x-z)\vec k$
$~~~~~~= \int_{0}^{2\pi}\,\int_{0}^{\pi/4}\,\int_{0}^{2/cos(\phi )}\,2{\rho}^2sin~\phi~d\rho d\phi d\theta $
$~~~~~~=\frac{16\pi}{3} $