การเรียงสับเปลี่ยนแบบวงกลม

[mercedesbenz]

สูตร1: ถ้ามีของแตกต่างกัน 2 ประเภท ๆ ละ n สิ่ง นำสิ่งของทั้งหมดมาเรียงสับเปลี่ยนกันเป็นวงกลม
สลับกันทีละ r สิ่ง (r หาร n ลงตัว)จำนวนวิธีคือ $$r\times(n-1)!\times n!$$
ตัวอย่าง: ชาย 6 คน หญิง 6 คน นั่งสลับกันทีละ 2 คนได้ $2\times 5!\times 6!$
สูตร 2:นำสิ่งของแตกต่างกัน n สิ่ง เลือกมาเรียงทีละ r สิ่ง เรียงแบบวงกลม(แบบพลิกไม่ได้)
และ $0<r\leq n$ จำนวนวิธีคือ $$\frac{n!}{r\times(n-r)!}$$
ตัวอย่าง: เด็กนักเรียน 7 คนจัดนั่งโต๊ะกลมที่สามารถนั่งได้ 5 คนได้ $\frac{7!}{5(7-5)!}$ วิธี
สูตร 3:ถ้ามีสิ่งของ n สิ่ง บางสิ่งซ้ำกันนำมาเรียงแบบวงกลม
ถ้ามีสิ่งของ n สิ่งแบ่งเป็น k กลุ่ม
กลุ่ม 1 มีสิ่งของซ้ำกัน $n_1$ สิ่ง
กลุ่ม 2 มีสิ่งของซ้ำกัน $n_2$ สิ่ง
$\vdots$
กลุ่ม k มีสิ่งของซ้ำกัน $n_k$ สิ่ง
จำนวนวิธีในการเรียงคือ
$$\frac{(n-1)!}{n_1!n_2!\cdots n_k!}$$
เมื่อ ห.ร.ม. ของ $n_1,n_2,\ldots ,n_k$ คือ 1
คำถามเราจะสามารถอธิบาย (เชิงยกตัวอย่างก็ได้) ได้อย่างไรว่าสูตรทั้งสามเป็นจริง
พิสูจน์สูตรได้ยิ่งดีครับ
โจทย์ตัวอย่าง:มีสีแตกต่างกัน 6 สี ต้องการทาสีบนหน้าลูกบาศก์สี่เหลี่ยมอันหนึ่ง โดยทาหน้าละสีไม่ซ้ำกันจะทาสีได้ทั้งหมดกี่แบบครับ

[TOP]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ mercedesbenz

สูตร1: ถ้ามีของแตกต่างกัน 2 ประเภท ๆ ละ n สิ่ง นำสิ่งของทั้งหมดมาเรียงสับเปลี่ยนกันเป็นวงกลม
สลับกันทีละ r สิ่ง (r หาร n ลงตัว)จำนวนวิธีคือ $$r\times(n-1)!\times n!$$

สูตร 3:ถ้ามีสิ่งของ n สิ่ง บางสิ่งซ้ำกันนำมาเรียงแบบวงกลม
ถ้ามีสิ่งของ n สิ่งแบ่งเป็น k กลุ่ม
กลุ่ม 1 มีสิ่งของซ้ำกัน $n_1$ สิ่ง
กลุ่ม 2 มีสิ่งของซ้ำกัน $n_2$ สิ่ง
$\vdots$
กลุ่ม k มีสิ่งของซ้ำกัน $n_k$ สิ่ง
จำนวนวิธีในการเรียงคือ
$$\frac{(n-1)!}{n_1!n_2!\cdots n_k!}$$
เมื่อ ห.ร.ม. ของ $n_1,n_2,\ldots ,n_k$ คือ 1

ลองอ่านวิธีคิดของคุณ gon จากหัวข้อนี้ รบกวนถามเรื่องการจัดวงกลมครับ

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ mercedesbenz

สูตร 2:นำสิ่งของแตกต่างกัน n สิ่ง เลือกมาเรียงทีละ r สิ่ง เรียงแบบวงกลม(แบบพลิกไม่ได้)
และ $0<r\leq n$ จำนวนวิธีคือ $$\frac{n!}{r\times(n-r)!}$$

มันก็คือ $\binom{n}{r}\times (r-1)!$

[mercedesbenz]

ขอบคุณมากๆครับ พี่ TOP ได้รู้แนวคิดหลายๆอย่างเลยครับ

[อยากเก่งเลขทำไงดีครับบบ]

แล้วมันจะเหมือนกับการเลือกมาก่อนแล้วนำมาจัดวงกลมอะป่าว

คือว่าถ้ามีของซำ้กันให้จัดแบบธรรมดาก่อนแล้วจึงหารวิธีที่ซำ้หรือเกินออก

ประมาณนี้อ่ะป่าววอ่ะครับ

[เอกสิทธิ์]

http://www.mathcenter.net/forum/showthread.php?t=8787

[อยากเก่งเลขทำไงดีครับบบ]

ก็เหมือนการจัดแบบปกติอ่า


แล้วหารของซ้ำหรือวิธีที่เกินออก

[แม่ให้บุญมา]

ตัวอย่าง: เด็กนักเรียน 7 คนจัดนั่งโต๊ะกลมที่สามารถนั่งได้ 5 คนได้ $\frac{7!}{5(7-5)!}$ วิธี
นี่คงเป็นการพิมพ์ผิดแบบไม่ตั้งใจ น่าจะเป็น$ \displaystyle \binom{7}{5} \displaystyle \times (5-1)!= 21\times 24=504$ วิธี
จาก $\binom{n}{r}\times (r-1)!$

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ mercedesbenz

สูตร1: ถ้ามีของแตกต่างกัน 2 ประเภท ๆ ละ n สิ่ง นำสิ่งของทั้งหมดมาเรียงสับเปลี่ยนกันเป็นวงกลม
สลับกันทีละ r สิ่ง (r หาร n ลงตัว)จำนวนวิธีคือ $$r\times(n-1)!\times n!$$
ตัวอย่าง: ชาย 6 คน หญิง 6 คน นั่งสลับกันทีละ 2 คนได้ $2\times 5!\times 6!$
สูตร 2:นำสิ่งของแตกต่างกัน n สิ่ง เลือกมาเรียงทีละ r สิ่ง เรียงแบบวงกลม(แบบพลิกไม่ได้)
และ $0<r\leq n$ จำนวนวิธีคือ $$\frac{n!}{r\times(n-r)!}$$
ตัวอย่าง: เด็กนักเรียน 7 คนจัดนั่งโต๊ะกลมที่สามารถนั่งได้ 5 คนได้ $\frac{7!}{5(7-5)!}$ วิธี
สูตร 3:ถ้ามีสิ่งของ n สิ่ง บางสิ่งซ้ำกันนำมาเรียงแบบวงกลม
ถ้ามีสิ่งของ n สิ่งแบ่งเป็น k กลุ่ม
กลุ่ม 1 มีสิ่งของซ้ำกัน $n_1$ สิ่ง
กลุ่ม 2 มีสิ่งของซ้ำกัน $n_2$ สิ่ง
$\vdots$
กลุ่ม k มีสิ่งของซ้ำกัน $n_k$ สิ่ง
จำนวนวิธีในการเรียงคือ
$$\frac{(n-1)!}{n_1!n_2!\cdots n_k!}$$
เมื่อ ห.ร.ม. ของ $n_1,n_2,\ldots ,n_k$ คือ 1
คำถามเราจะสามารถอธิบาย (เชิงยกตัวอย่างก็ได้) ได้อย่างไรว่าสูตรทั้งสามเป็นจริง
พิสูจน์สูตรได้ยิ่งดีครับ
โจทย์ตัวอย่าง:มีสีแตกต่างกัน 6 สี ต้องการทาสีบนหน้าลูกบาศก์สี่เหลี่ยมอันหนึ่ง โดยทาหน้าละสีไม่ซ้ำกันจะทาสีได้ทั้งหมดกี่แบบครับ