คำถามสำหรับ Mathcenter Contest Round 1

[nongtum]

กรุณาอ่านกติกาและกำหนดเวลาสำหรับการแข่งขันครั้งนี้ในกระทู้กฎกติกามารยาทนะครับ
ข้อสอบถามใดๆเกี่ยวกับโจทย์ สามารถถามได้ในกระทู้นี้จนถึงเวลา 0:15 น. ของวันถัดไปครับ

Olympic

คะแนนเต็ม 38 คะแนน
คำสั่ง จงแสดงวิธีทำอย่างละเอียด

1. (4 คะแนน) กำหนด $x,y,z\in \mathbb{R} ^+$ ซึ่งเป็นคำตอบของระบบสมการ
$x^2+xy+y^2=57$
$y^2+yz+z^2=84$
$z^2+zx+x^2=111$
ค่าของ $xy+3yz+5zx$ เป็นเท่าไร

(เสนอโดยคุณ maphybich)

2. (4 คะแนน) จงหาฟังก์ชัน $f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ ทั้งหมดซึ่งสอดคล้องสมการเชิงฟังก์ชัน $$f(xy^2)+f(x^2y)=y^2f(x)+x^2f(y)$$ ทุก $x,y\in\mathbb{R}$ และ $f(2551)=f(-2551)$
(เสนอโดยคุณ nooonuii)

3. (5 คะแนน) กำหนด $ M= \{1,2,\cdots,2550\} $ และ $\min A ,\ \max A $ แทนค่าน้อยสุดและค่ามากสุดของสมาชิกในเซต $A$
สำหรับ $ k \in \{1,2,\cdots 2549\} $ นิยาม $$ x_k = \frac{1}{2551} \bigg (\sum_{A \subset M ; n(A)= k} (\min A + \max A) \, \bigg) $$
หาเศษจากการหาร $\sum_{i=1}^{2549} x_i^2$ ด้วย 2551
(เสนอโดยคุณ passer-by)

4. (5 คะแนน) ให้ $a,b$ และ $c$ เป็นจำนวนเต็มบวกที่ทำให้ $$\frac{a\sqrt{3}+b}{b\sqrt3+c}$$ เป็นจำนวนตรรกยะ จงแสดงว่า $$\frac{a^2+b^2+c^2}{a+b+c}$$ เป็นจำนวนเต็ม.
(เสนอโดยคุณ Anonymous314)

5. (5 คะแนน) มีจำนวนอตรรกยะ 6 จำนวน,จงพิสูจน์ว่าจะมีสามจำนวนใน 6 จำนวนนั้นเสมอ สมมติว่าคือ a,b,c ซึ่ง a+b,b+c,c+a เป็นจำนวนอตรรกยะ
(เสนอโดยคุณ Erken)

6. (5 คะแนน) จงหาจำนวนคำตอบทั้งหมดที่เป็นจำนวนเต็มของสมการ $x^5-y^2=4$
(เสนอโดยคุณ Erken)

7. (5 คะแนน) ABC เป็นสามเหลี่ยมที่มีพื้นที่เป็น 1 ตารางหน่วย ให้จุด D บน BC, จุด E บน CA, จุด F บน AB, ที่ทำให้สี่เหลี่ยม AFDE สามารถแนบในวงกลมได้
จงแสดงว่า พื้นที่ของ $DEF \le EF^2/(4 AD^2)$.
(เสนอโดยคุณ holmes)

8. (5 คะแนน) ให้ $a,b,c,d \in R^+$ และ $abcd=1$
จงพิสูจน์ว่า$$(\frac{1+ab}{1+a})^{2008}+(\frac{1+bc}{1+b})^{2008}+(\frac{1+cd}{1+c})^{2008}+(\frac{1+da}{1+d})^{2008} \geq 4$$
(เสนอโดยคุณ dektep)

ข้อสอบระดับมัธยม ขอเลื่อนเวลาประกาศข้อสอบออกไปอีก 30 นาที เป็น 0:45 น. ครับ เส้นตายก็จะเลื่อนไปอีก 30 นาทีเช่นกัน ขออภัยในความล่าช้าครับ

มัธยม

คะแนนเต็ม 35 คะแนน
คำสั่ง จงแสดงวิธีทำอย่างละเอียด

1. (4 คะแนน) ศาสตราจารย์สติเฟื่องท่านหนึ่ง เดินขึ้นบันไดเลื่อนในห้างพันธุ์ทิพย์ ด้วยความเร็วคงที่ 1 ขั้นบันไดเลื่อนต่อวินาที เมื่อท่านเดินถึงบันไดเลื่อนชั้นบนสุด ก็นึกขึ้นได้ว่าลืมบัตร ATM ที่เพิ่งเบิกเงินสดไว้ในตู้ ATM ชั้นล่าง บังเอิญช่วงเวลานั้น ยังไม่มีใครขึ้นบันไดเลื่อน ท่านจึงตัดสินใจวิ่งย้อนลงบันไดเลื่อน ด้วยความเร็วคงที่ 3 ขั้นบันไดเลื่อนต่อวินาที เมื่อท่านเก็บบัตร ATM ได้แล้ว ก็เกิดอาการสนุกลองเดินขึ้น และวิ่งลงบันไดเลื่อนแบบเดิมอีกครั้ง แต่คราวนี้ท่านสังเกตว่า ในขาขึ้นท่านเดินผ่านขั้นบันไดเลื่อน 18 ขั้น และในขาลงท่านวิ่งผ่านขั้นบันไดเลื่อน 90 ขั้น อยากทราบว่า ณ เวลาหนึ่ง เรามองเห็นขั้นบันไดเลื่อนกี่ขั้น
(เสนอโดยคุณ top)

2. (4 คะแนน) O N E T W X เป็นเลขโดดที่แตกต่างกันทั้งหมด จงหาเลขฐานทั้งหมดซึ่งทำให้ การบวกต่อไปนี้มีผลเฉลยเพียงหนึ่งเดียว
\[\begin{array}{c}
\begin{array}{rrrrr}\quad & \rm{O} & \rm{N} & \rm{E} & _+ \end{array} \\
\underline{\begin{array}{rrrrr}\quad & \rm{T} & \rm{W} & \rm{O} & \;\;\end{array}} \\
\underline{\underline{\begin{array}{rrrrr}\rm{N} & \rm{E} & \rm{X} & \rm{T} & \;\end{array}}}
\end{array}\]
(เสนอโดยคุณ top)

3. (4 คะแนน) $ A , B $ เป็นจุดบนวงกลม โดยมีพิกัด $ (-16,-9) $ และ $ (20 ,18)$ ตามลำดับ
$C$ เป็นจุดบน $AB$ โดย $ AC : CB = 4 :5 $
ถ้า $ D, E $ เป็นจุดบนวงกลมโดย $ DC > CE $ และ $D, C, E $ อยู่บนเส้นตรงเดียวกัน หาระยะ $ DC $ เมื่อ $ DC^2+ CE^2 = 5000 $
(เสนอโดยคุณ passer-by)

4. (4 คะแนน) กำหนดให้ $\log_{10} 2 \approx 0.3010, \log_{10} 3 \approx 0.4771, \log_{10} 5 \approx 0.6990$ และ $\log_{10} 7 \approx 0.8451$
จงหาค่าของเลขโดดหลักซ้ายมือสุดของ $5^{200}$ เมื่อเขียนในระบบเลขฐาน $10$
(เสนอโดยคุณ Heir Of Ramanujan)

5. (4 คะแนน) จงหาค่าของ $\displaystyle{\cos^{2}71^{o}+\cos^{2}79^{o}+\sqrt{3}\cos 71^{o}\cos 79^{o}}$
(เสนอโดยคุณ Timestopper_STG)

6. (5 คะแนน) จงหาจำนวนจริง $x,y$ ทั้งหมดซึ่งสอดคล้องระบบสมการ
$$\displaystyle{x=\sqrt{x+2\sqrt{y+2\sqrt{x+2y}}}}$$
$$\displaystyle{y=\sqrt{y+2\sqrt{x+2\sqrt{y+2x}}}}$$
(เสนอโดยคุณ nooonuii)

7. (5 คะแนน) จงบอกวิธีสร้าง (พร้อมพิสูจน์) วงกลมที่มีพื้นที่เป็น 1 ใน 3 ของวงกลมที่กำหนดให้ โดยใช้เพียงวงเวียนและสันตรง
(เสนอโดยคุณ Mathophile)

8. (5 คะแนน) จากรูป จงหาพื้นที่สี่เหลี่ยม PQRS โดยที่สี่เหลี่ยม ABCD เป็นสี่เหลี่ยมมุมฉากและมีความยาวแต่ละด้านดังรูป โดยมีหน่วยเป็นเซนติเมตร

(เสนอโดยคุณ หยินหยาง)

มหาวิทยาลัย

คะแนนเต็ม 15 คะแนน
คำสั่ง จงแสดงวิธีทำอย่างละเอียด

1. (3 คะแนน) จงหาค่าของ $\max \{\pi^e, e^\pi\}$
(เสนอโดยคุณ M@gpie)

2. (3 คะแนน) ให้ $f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}^+$ เป็นฟังก์ชันที่มีอนุพันธ์ จงพิสูจน์ว่า

ถ้า $\displaystyle{\lim_{x\to\infty}f(x)=A>0}$ แล้ว $\displaystyle{\lim_{x\to\infty}f'(x)=0}$

(เสนอโดยคุณ nooonuii)

3. (4 คะแนน) จงหาฟังก์ชันต่อเนื่อง $f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ ที่สอดคล้องกับสมการ
\[ f(x) = \lambda (1+x^2)\left( 1+ \int_0^x \frac{f(t)}{1+t^2}dt\right)\]
สำหรับทุก $x\in \mathbb{R}$ ในที่นี้ให้ $\lambda$ เป็นจำนวนจริงที่มีค่าคงตัว
(เสนอโดยคุณ M@gpie)

4. (5 คะแนน) กำหนด $ f $ มีอนุพันธ์ทุกอันดับ สำหรับทุกจำนวนจริง $ x $ และสอดคล้องกับเงื่อนไขต่อไปนี้
(1) $ f(0) = 1 , f’(0) = -1 $
(2) $ f^{(n)}(0) \leq \frac{1}{n^2-n} \,\, \forall n \geq 2 $
พิสูจน์ว่า มีจำนวนจริง $ c \in (0,1) $ ซึ่ง $ f^{''}( c) < \frac{1}{2c} $
(เสนอโดยคุณ passer-by)

ประถม

คะแนนเต็ม 20 คะแนน
คำสั่ง จงแสดงวิธีทำอย่างละเอียด

1. (2 คะแนน) ให้ $$A=1+3+5+\cdots + 101$$ $$B=2+4+6+\cdots + 100$$
ระหว่าง $A$ และ $B$ จำนวนใดมีค่ามากกว่ากัน และมากกว่ากันอยู่เท่าไร
(เสนอโดยคุณ nooonuii)

2. (3 คะแนน) ชายคนหนึ่งต้องการเปิดรหัสกุญแจห้องเก็บของ กุญแจมีลักษณะเป็นที่หมุน 4 ช่องมีเลข 1-9
มีคำใบ้ว่าเลขรหัสจำนวนแรกนับจากซ้ายมือเป็นพหุคูณของ 3 เลขรหัสตัวที่ 2 ถัดมาเป็นจำนวนเฉพาะ เลขรหัสลำดับที่ 3 เป็นพหุคูณของ 2และเลขรหัส 4 ตัวเรียงกันสามารถหารด้วย 4 ลงตัว
จงหาว่ามีรหัสตามเงื่อนไขนี้กี่แบบ (ตัวอย่างรหัส เช่น 6764)
(เสนอโดยคุณ EulerTle)

3. (3 คะแนน) กำหนด $ p,q,r $ เป็นจำนวนเฉพาะบวก ซึ่งสอดคล้องกับเงื่อนไขต่อไปนี้
(1) $ p < q < r $
(2) $ p+2q+r = 107 $
(3) หลักหน่วยของ $r $ เท่ากับ 3

หาค่า $ r-q $ ที่มากที่สุดที่เป็นไปได้
(เสนอโดยคุณ passer-by)

4. (4 คะแนน) กำหนดข้อมูลต่อไปนี้
(1) นับจนถึงวันที่แข่งขันกันอยู่นี้ ผมจะยังอายุไม่ถึง 40 ปี
(2) ถ้านำวันที่ เดือน และ พ.ศ. มาเขียนเป็นเลขอารบิกเรียงต่อกัน จะได้เลข 6 หลัก ซึ่งเมื่อกลับหัวแล้วก็ยังเป็นเลข 6 หลัก
(3) เลขที่กลับหัวแล้วมีผลรวมทุกหลักเป็น 36

คำถามก็คือ ผมเกิดวันที่ เดือนและพ.ศ. อะไรครับ
(เสนอโดยคุณ passer-by)

5. (4 คะแนน) ด.ช. เก่ง กำลังนับตัวเลขตั้งแต่ 1 ถึง 2551 อยากทราบว่าตั้งแต่เริ่มนับจนนับเสร็จ ด.ช. เก่ง พูดคำใดมากกว่า ระหว่างคำว่า "สิบ" และ "ร้อย" และพูดมากกว่าอยู่กี่ครั้ง
(เสนอโดยคุณ Mathophile)

6. (4 คะแนน) ผลรวมของ 2008 พจน์แรกของลำดับต่อไปนี้เท่ากับเท่าใด $$1,-2,2,-3,3,-3,4,-4,4,-4,5,-5,5,-5,5,\dots$$
(เสนอโดยคุณ Mathophile)

[owlpenguin]

ข้อ $\not 4 3$ ถามหาอะไรครับ
ข้อ 1 นี่พิมพ์ผิดครับ
เพราะไม่งั้นแล้ว $57=84$

[Timestopper_STG]

เขาให้พิสูจน์ครับว่า $\displaystyle{\frac{a^{2}+b^{2}+c^{2}}{a+b+c}}$ เป็นจำนวนเต็ม

[owlpenguin]

ดูเลขข้อผิดครับ... ข้อ 3 ครับ

[nongtum]

#2
ผมเข้าใจจากที่ดูเฉลย ว่า x ในสมการที่สองของข้อแรกต้องเป็น z ครับ เดี๋ยวจะแก้ให้
เดี๋ยวผมจะแก้โจทย์ที่เป็นภาษาอังกฤษที่เหลือให้เป็นภาษาไทยด้วยเลย

ต้องขออภัยในความผิดพลาดจริงๆ ผมเพิ่งกลับจากกรุงเทพมาถึงเชียงใหม่ตอนสี่ทุ่มกว่าๆ กว่าจะได้เข้ามาทำก็จวนเจียนอย่างที่เห็น
แต่รับรองว่าในรอบประัถมกับมหาวิทยาลัยคงจะไม่เกิดเรื่องแบบนี่้ขึ้นนะครับ

[TOP]

โอลิมปิกข้อ 3 ตกบรรทัดที่เขียนว่า

หาเศษจากการหาร $ \sum_{i=1}^{2549} x_i^2 $ ด้วย 2551

[kanakon]

โจทย์น่าสนุกมากครับ มาให้กำลังใจชาวยุทธ์ทุกคน

[TOP]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ kanakon

โจทย์น่าสนุกมากครับ มาให้กำลังใจชาวยุทธ์ทุกคน

จริงๆแล้วยังมีโจทย์ที่น่าสนุกกว่านี้หลายข้อ เพียงแต่ส่งมาวันสุดท้าย ที่ผู้ดูแลหลายท่านได้โหวตเลือกโจทย์ล่วงหน้าไปแล้ว ด้วยเกรงว่าจะไม่มีเวลามาโหวตตอนใกล้ปิดรับโจทย์ ดังนั้นโจทย์บางส่วนที่ไม่ถูกนำมาใช้ในรอบนี้ จะนำมาใช้ในรอบถัดไป

[passer-by]

รอบมัธยม เงียบมากครับ ใครที่ยังไม่ได้ตอบรอบโอลิมปิก ลองมาตอบรอบมัธยมก็ดีนะคร้าบ

[หยินหยาง]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ passer-by

รอบมัธยม เงียบมากครับ ใครที่ยังไม่ได้ตอบรอบโอลิมปิก ลองมาตอบรอบมัธยมก็ดีนะคร้าบ

รักพี่เสียดายน้องครับ แต่จะลองพิจารณาดูครับ
เอ๊ะ แต่ว่าถ้าผ่อนกฏเกณฑ์ได้ ให้ตอบได้ทั้งคู่ละก็ มันส์สุดๆ ครับ

[passer-by]

ผมคิดว่า รอบนี้ที่ให้เลือกได้เพียงแบบเดียว เพราะกลัวจะมีหน้าเดิมๆที่รั้ง rank ต้นๆครับ

แต่การที่รอบมัธยมเงียบมากๆ ก็ทำให้ต้องชั่งน้ำหนักกันใหม่ในรอบหน้าแหละครับ ว่าจะผ่อนกฎเกณฑ์ดีมั้ย

[nongtum]

เรื่องการแข่งระดับมัธยม ตอนแรกผมก็คิดคล้ายๆคุณ passer-by นะ เพราะไม่อยากให้เซียนโอลิมปิกสกัดดาวรุ่งคนอื่น
แต่ถ้าเลยวันเสาร์ตอนเที่ยงยังเงียบอย่างนี้อยู่ ผมอาจต้องพิจารณาอีกรอบว่าจะเปิดให้ลงควบได้หรือไม่

[TOP]

ผมคิดว่า เด็กที่มุ่งมาทางนี้ล้วนมีจุดหมายปลายทางตรงโอลิมปิกทั้งนั้น จึงเป็นการยากที่จะมีเด็กสนใจปัญหาเหล่านี้ แต่ไม่สนใจโอลิมปิก

อย่างไรก็ตาม ผมเชื่อว่ามีเด็กส่วนมากที่ยังทำ contest ระดับโอลิมปิกไม่ได้ หากน้องเป็นคนหนึ่งในกลุ่มนี้ และอยู่ในระยะเริ่มต้นเพื่อมุ่งหน้าสู่ถนนสายนี้ ทำไมไม่ลองเริ่มต้นจาก contest ระดับมัธยม กันสักยกละครับ ผมว่าเป็นการซักซ้อมที่ดีทีเดียว

เรื่องอันดับที่จะได้จาก contest เหล่านี้ ผมมองว่าเป็นเรื่องรองลงมามากๆ อย่ากลัวที่จะได้อันดับท้ายๆ แต่จงกลัวที่ตนเองจะย่ำอยู่กับที่ดีกว่าครับ หนทางไกลหมื่นลี้ ย่อมเริ่มจากก้าวแรก จริงไหมครับ

[nongtum]

ประกาศ
ผมโพสต์โจทย์สองระดับที่เหลือเร็วขึ้นเล็กน้อย แต่ยังปิดรับคำตอบทั้งสองระดับนี้ตามกำหนดการเดิมครับ
ข้อสอบถามใดๆเกี่ยวกับโจทย์ สามารถถามได้ในกระทู้นี้จนถึงเวลา 0:15 น. ของวันถัดไป(วันอาทิตย์)ครับ

เนื่องจากรอบนี้ระดับมัธยมเงียบผิดปกติ ในรอบนี้ผมจึงขอยกเลิกกฎการห้ามแข่งควบ
ซึ่งหมายถึง ใครที่ลงแข่งระดับโอลิมปิกไปแล้ว หรือยังลังเลว่าจะลงแข่งระดับไหนดี สามารถลงแข่งได้ทั้งสองรุ่นครับ
โดยจะต่อเวลาให้ระดับมัธยมอีก 18 ชั่วโมง เป็นปิดรับคำตอบระดับมัธยมเวลา 18:15 น. ของวันพุธที่ 21 นี้

ในขณะที่ระดับโอลิมปิกจะไม่มีการเปลี่ยนแปลงกำหนดการใดๆอีก

ขออภัยในความขัดข้องที่เกิดในครั้งนี้ครับ

[Timestopper_STG]

ข้อ 3 ของระดับมหาวิทยาลัยหาแค่ฟังก์ชันเดียวก็พอแล้วใช่ไหมครับหรือว่าทั้งหมดที่สอดคล้อง