ขอความช่วยเหลือหน่อยคับ พิสูจน์แบบละเอียดเลยนะคับ

[แมท เทพ]

show that the sum of the squares of two odd integer cannot be a perfect squares.

[★★★☆☆]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ แมท เทพ

show that the sum of the squares of two odd integer cannot be a perfect squares.

วิธีที่ 1 , สมมติให้ a และ b เป็นจำนวนเต็มคี่ จะได้ว่ามีจำนวนเต็ม x และ y ที่ a = 2x - 1 และ b = 2y - 1

$a^2 = (2x-1)^2 = 4x^2 - 4x + 1 = 2(2x^2 - 2x) + 1$

ดังนั้นจำนวนเต็มคี่ยกกำลังสองแล้วได้จำนวนคี่

ดังนั้น $a^2 + b^2$ ต้องเป็นจำนวนคู่

สมมติให้ c เป็นจำนวนเต็มคู่ จะได้ว่ามีจำนวนเต็ม z โดยที่ c = 2z

สมมติให้มี $a^2 + b^2 = c^2$

ดังนั้น $(2x-1)^2 + (2y-1)^2 = (2z)^2$

$4x^2 + 4y^2 + 4x - 4y + 2 = 4z^2$

$2x^2 + 2y^2 + 2x - 2y + 1 = 2z^2$

$2(x^2 + y^2 + x - y) + 1 = 2z^2$

เห็นได้ชัดว่าทางด้านซ้ายมือของสมการเป็นจำนวนเต็มคี่ ส่วนทางด้านขวามือเป็นจำนวนเต็มคู่ ดังนั้นจึงเกิดข้อขัดแย้ง จึงไม่มี $a^2 + b^2 = c^2$

วิธีที่ 2 , ถ้า a เป็นจำนวนเต็มคี่แล้ว $a \equiv 1 mod 4$ หรือ $a \equiv 3 mod 4$ ดังนั้น $a^2 \equiv 1 mod 4$

ในทำนองเดียวกับจำนวนเต็มคี่ b

จะได้ว่า $a^2 + b^2 \equiv 2 mod 4 \not\equiv 0 mod 4$

ดังนั้น $a^2 + b^2$ ไม่เป็นกำลังสองสมบูรณ์ เิพราะจำนวนคู่ที่เป็นกำลังสองสมบูรณ์จะต้องหารด้วย 4 ลงตัว