ช่วยหน่อยนะเราไม่ได้จิงๆเรื่องทฤษฏีจำนวนช่วยที

[แมท เทพ]

1 Show that 7 divides 3^(2n+1) + 2^(n+2), for any positive integer n.

2 Any integer of the form (8^n)+1 , where n\geqslant 1 is composite [Hint (2^n)+1 |(2^3n)+1.

[LightLucifer]

1. ใช้ INDUCTION ได้ครับ
2. กระจาย $8^n+1=(2^n+1)(4^n-2^n+1)$

[แมท เทพ]

ข้อหนึ่งอ่ะเรารองใช้อินดักชันแล้วมันติดอ่ะรองทำให้ดูหน่อยได้มั้ย

[LightLucifer]

ให้ $P(n)$ แทนประโยคเปิด $7\mid 3^{2n+1} + 2^{n+2}$

ขั้นฐาน $7\mid 35$
ดังนั้น $P(1)$ จริง

ขั้นอุปนัย
ให้ $k\in \mathbb{N} $ ซึ่ง $P(k)$ จริง จะได้ว่า $7\mid 3^{2k+1} + 2^{k+2}$
พิจรณา $3^{2(k+1)+1}+2^{(k+1)+2}$
$=3^{(2k+1)+2}+2^{(k+2)+1}$
$=9(3^{2k+1})+2(2^{k+2}$
$=7(3^{2k+1})+2(3^{2k+1}+2^{k+2})$
สังเกตุว่า $7\mid 7(3^{2k+1})+2(3^{2k+1}+2^{k+2})$
ดังนั้น $P(k+1)$ จริง

$\therefore P(n)$ จริงโดยหลักอุปนัยเชิงคณิตศาสตร์

[[SIL]]

$3^{2n+1}+2^{n+2}
=3(9)^n+4(2)^n
=3(7+2)^n+4(2)^n
=7k+3(2)^n+4(2)^n
=7k+7(2)^n
=7m$

[แมท เทพ]

ข้อ1 จาก9 แล้วมันกลายเป็น 7ได้ไงหรอ

[[SIL]]

มันเป็น 7+2 อ่ะครับกระจายโดนทวินามจะได้ว่าพจน์แรกถึงพจน์รองสุดท้ายจะมี 7 เป็นตัวประกอบหมด