ช่วยด้วยครับผมงง (อนุกรม ม.6 ครับผม)

[Inceptionz]

เรื่องมีอยู่ว่า

ข้อ 7 (สอบเก็บคะแนน)
จงหาผลบวก n พจน์แรกของอนุกรม 7+77+777+7777+7777+....


ข้อ สุดท้าย
จงหาผลบวกของอนุกรมอนันต์ 1+$\frac{3}{5}$ +$\frac{5}{25}$ +$\frac{7}{125}$+...



เห็นข้อสอบปุ๊บ ก็นอนรอละครับ 555
รบกวนพี่ๆ ช่วยหน่้อยครับ
ขอบคุณครับ

[นกกะเต็นปักหลัก]

1.เท่ากับ 70/81(10^n-1)-7/9n
คูณด้วย7/9แล้วใช้ผลบวกเรขาคณิต

[นกกะเต็นปักหลัก]

2. 15/8
คูณด้วย1/5 แล้วลบกับสมการแรก แล้วใช้ผลบวกอนุกรมอนันต์ครับ

[กิตติ]

$1+\frac{3}{5} +\frac{5}{25} +\frac{7}{125}+...=S$....(1)
$\frac{1}{5} +\frac{3}{25} +\frac{5}{125}+\frac{7}{625}...=\frac{S}{5}$ .......(2)
$1+\frac{2}{5} +\frac{2}{25} +\frac{2}{125}+...=\frac{4S}{5}$
$1+2\left(\,\frac{\frac{1}{5} }{1-\frac{1}{5}} \right)=\frac{4S}{5} $
$1+\frac{1}{2}=\frac{4S}{5}$
$S=\frac{15}{8} $

[Inceptionz]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ นกกะเต็นปักหลัก

1.เท่ากับ 70/81(10^n-1)-7/9n
คูณด้วย7/9แล้วใช้ผลบวกเรขาคณิต

พี่ครับ ขออภัยครับ โจทย์ผิดครับ (ผมเขียนผิด) มันจะเป็น
7+77+777+7777+...

ไม่ใช่ 7+77+777+7777+7777 ตรงนี้มันซ้ำกันอะครับ

วิธีทำคือ ตอนแรก เอา 7/9 คูณเข้าทั้งสมการ ใช่ไหมครับ

[artty60]

ข้อ1.

$S_n=7+77+777+7777+...$

$\frac{9}{7}S_n=\sum_{n = 1}^{n} (10^n-1)$

$S_n=\frac{7}{9}[\sum_{n = 1}^{n} (10^n-1)]$

$S_n=\frac{7}{9}(\frac{10(10^{n}-1)}{9}-n)$

$S_n=\frac{7}{81}(10^{n+1}-9n-10)$

[Inceptionz]

ขอบคุณมากครับผม