คำถามสำหรับ Mathcenter Contest Round 1/2011

[Real Matrik]

เห็นคุณ nongtum บอกว่าจะขยายเวลาตอบคำถามนี่ครับ หรือว่าขยายแล้วหว่า

[nongtum]

#46
ขยายแล้วครับ จากเดิม 17 มิถุนา เป็นสิ้นเดือนนี้ไงครับ

[-InnoXenT-]

ไม่มีเวลาทำข้อวิธีทำของแต่ละระดับเลย ติดทำโปรเจค T^T

ถ้ามี ก็ไม่แน่ว่าจะทำได้รึเปล่า สุดยาก T_T

[nongtum]

วันนี้ ผมตรวจตอนที่ 1 และตอนที่สองบางส่วนแล้วครับ
ส่วนตอนที่สองของม.ต้น ม.ปลาย และโอลิมปิกส่วนใหญ่ ยังไม่ได้ตรวจ รออีกสักพักนะครับ
ลืมตรวจข้อไหน หรืออยากท้วงเฉลยข้อใด เชิญแจ้งได้ที่กระทู้คำตอบของตัวเองได้ครับ

[banker]

เย้ .... ได้ตั้งครึ่งหนึ่งแนะ

ทีแรกเห็นโจทย์แล้วร้องจ๊าก !!!

แต่พอตั้งสติ ค่อยๆเพ่งพิศ บางข้อ ตัวเลขก็ลอยออกมาเอง

หลังจากค่อยๆแกะโจทย์ บางข้อก็พอทำได้นิ

ดังนั้นอย่าเพิ่งตีตนไปก่อนไข้ มันต้องมีสักข้อที่ทำได้หรอกน่า

ม.ต้นตอนที่1 ได้ 19/28 คิดเป็น 68 %

ม.ต้นตอนที่2 ได้ 5/20 คิดเป็น 25 %

รวม 24/48 คิดเป็น 50 % ตั้งครึ่งแน่ะ


ข้อนี้สะเพร่าแบบน่าโดนเขก

12. กำหนดให้ $\dfrac{x^2-y^2}{x^2+y^2}+\dfrac{x^2+y^2}{x^2-y^2} = k$ จงหาค่าของ $\dfrac{x^8-y^8}{x^8+y^8}+\dfrac{x^8+y^8}{x^8-y^8}$ ในรูปของ $k$
(เสนอโดย คุณ -InnoXenT-)

$\dfrac{x^2-y^2}{x^2+y^2}+\dfrac{x^2+y^2}{x^2-y^2} = k$

$(x^2+y^2)^2 + (x^2-y^2)^2 = k(x^2-y^2)(x^2+y^2)$

$(x^4+y^4+2x^2y^2) +(x^4+y^4-2x^2y^2) = k(x^4-y^4)$

$2x^4+2y^4 = kx^4-ky^4$

$ 2x^4-kx^4 = -ky^4-2y^4$

$x^4(2-k) = -(2+k)y^4$

$x^4 = \frac{k+2}{k-2}y^4$

แทนค่า x ใน$\dfrac{x^8-y^8}{x^8+y^8}+\dfrac{x^8+y^8}{x^8-y^8}$

$ = \dfrac{( \frac{k+2}{k-2}y^4)^2 - y^8}{(\frac{k+2}{k-2}y^4)^2 + y^8} + \dfrac{(\frac{(k+2}{k-2}y^4)^2 + y^8}{(\frac{k+2}{k-2}y^4)^2 - y^8} $

$ = \dfrac{( \frac{k+2}{k-2})^2 - 1}{(\frac{k+2}{k-2})^2 + 1} + \dfrac{(\frac{k+2}{k-2})^2 + 1}{(\frac{k+2}{k-2})^2 - 1} $


$\dfrac{\frac{k^2+4k+4}{k^2-4k+4}-1}{\frac{k^2+4k+4}{k^2-4k+4}+1} +

\dfrac{\frac{k^2+4k+4}{k^2-4k+4}+1}{\frac{k^2+4k+4}{k^2-4k+4}-1}$

$ = \dfrac{k^2+4k+4-k^2+4k-4}{k^2+4k+4+k^2-4k+4} + \dfrac{k^2+4k+4+k^2-4k+4}{k^2+4k+4-k^2+4k-4}$

$ = \dfrac{4k}{k^2+4} + \dfrac{k^2+4}{4k}$

$= \dfrac{k^4+24k^2+16}{4k(k^2+4)}$

ทำถูก แต่เวลาตอบ ดันลืมใส่เลข 2

$= \dfrac{k^4+24k^{\color{red}{2}}+16}{4k(k^2+4)}$

ความจริงจบตรงนี้ ก็น่าจะได้คะแนนแล้ว

$ = \dfrac{( \frac{k+2}{k-2})^2 - 1}{(\frac{k+2}{k-2})^2 + 1} + \dfrac{(\frac{k+2}{k-2})^2 + 1}{(\frac{k+2}{k-2})^2 - 1} $

เป็นบทเรียนว่า ทำมาก โอกาสบวกลบคูณหารผิดก็มากขึ้น ยิ่งตัวเลขแยะ โอกาสตกหล่นก็มากขึ้น

ถ้าผลลัพธ์อยู่ในรูป k ทั้งหมดแล้วก็น่าจะโอเคแล้ว อย่าหาเรื่อง

[No.Name]

ม.ต้น

ผมได้ 10 คะแนนเองครับน้อยมากๆเลย

บทเรียนอย่างดีเลยครับ

[Cachy-Schwarz]

$= \dfrac{k^4+24k^{\color{red}{2}}+16}{4k^3+16k}$

ข้อ 12 ม.ต้นผมตอบเท่านี้นะครับ เเต่ไม่ได้คะแนน

[banker]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ ๛Cachy–Schwarz๛

$= \dfrac{k^4+24k^{\color{red}{2}}+16}{4k^3+16k}$

ข้อ 12 ม.ต้นผมตอบเท่านี้นะครับ เเต่ไม่ได้คะแนน

ยืนยันครับว่า คำตอบนี้ถูกต้อง(ถ้าลองแตกต่อจากที่เจ้าของโจทย์เฉลย ก็จะมาสุดตรงนี้แหละ)





จากเฉลยเจ้าของโจทย์

$\displaystyle{= 2\left(\frac{(k+2)^4+(k-2)^4}{(k+2)^4-(k-2)^4}\right)}$

$(k+2)^4 = k^4+8 k^3+24 k^2+32 k+16$
$(k-2)^4 =k^4-8 k^3+24 k^2-32 k+16$

$2\dfrac{(k^4+8 k^3+24 k^2+32 k+16)+(k^4-8 k^3+24 k^2-32 k+16)}{(k^4+8 k^3+24 k^2+32 k+16)-(k^4-8 k^3+24 k^2-32 k+16)}$

$= \dfrac{2(2k^4+48k^2+32)}{16k^3+64k}$

$ = \dfrac{4(k^4+24k^2+16)}{16(k^3+4k)}$

$= \dfrac{k^4+24k^2+16}{4k^3+16k}$

$= \dfrac{k^4+24k^2+16}{4k(k^2+4)}$

[No.Name]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ ๛Cachy?Schwarz๛

$= \dfrac{k^4+24k^{\color{red}{2}}+16}{4k^3+16k}$

ข้อ 12 ม.ต้นผมตอบเท่านี้นะครับ เเต่ไม่ได้คะแนน

ตรวจแล้วได้เท่าไหร่หรอครับ (คุณ banker น่าจะได้หนังสือตัวเองซะมั้งครับเนี่ย)

[Cachy-Schwarz]

0/2 ครับ ......

[No.Name]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ ๛Cachy?Schwarz๛

0/2 ครับ ......

รวมของ ม. ต้น น่ะครับผมว่าได้เยอะกันหมดเลยมั้งครั้บเนี่ย

[Cachy-Schwarz]

ได้ 15 เองครับ ไม่ต่างกันมากเท่าไหร่หรอกครับ ของมปลายผมยิ่งทำไม่ได้ซักข้อ

[-InnoXenT-]

โจทย์ปีนี้ยากมาก

[nongtum]

ขออภัยทุกท่านที่ตอบข้อ 12 ถูก แต่ไม่ได้คะแนนนะครับ
เป็นความผิดพลาดของข้าพเจ้าเองที่จดเฉลยจากเจ้าของโจทย์ผิด เดี๋ยวจะเข้าไปแก้คะแนนให้ครับ

[No.Name]

คุณ nongtum ตรวจ แสดงวิธีทำ ม.ปลาย+โอลิมปิคตอนไหนหรอครับ

แล้วจะประกาศผล เดือนนี้ใช่ไหมครับ