แยกตัวประกอบให้หน่อย

[เด็กตกเลข]

a^3+b^3+c^3-3abc

ช่วยแยกตัวประกอบให้หน่อย
อธิบายให้ด้วยก็ดีนะคับ

[picmy]

(a+b+c)(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca)

ลองจินตนาการว่า a เป็นตัวแปรตัวนึง ส่วน b,c เป็นตัวเลขที่รู้ค่าแล้ว
กำหนดให้ P(a) = a^3+b^3+c^3-3abc = a^3 -(3bc)a + (b^3+c^3)
จากการสังเกต สามารถทราบได้ว่า a=-(b+c) เป็นรากของพหุนาม P(a)
หลังจากนั้นใช้การหารสังเคราะห์
-(b+c).......|....1 .................0.......................-3bc.........................b^3+c^3
.....................................-(b+c)................b^2+2bc+c^2..............-b^3+c^3
.....................1................-(b+c)................b^2-bc+c^2....................0

จะได้ว่า p(a) =(a+b+c)(a^2-(b+c)a+b^2-bc+c^2) = (a+b+c)(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca) #

[เด็กตกเลข]

ขอบคุณคับ แต่รู้ได้ไงว่า a=-(b+c) อะคับ สังเกตเก่งจัง

[nooonuii]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ เด็กตกเลข

a^3+b^3+c^3-3abc

ช่วยแยกตัวประกอบให้หน่อย
อธิบายให้ด้วยก็ดีนะคับ

$a^3+b^3+c^3-3abc=(a+b)(a^2-ab-b^2)+c(c^2-3ab)$

$=(a+b)(a^2-ab-b^2)+c(a^2-ab+b^2-a^2+ab-b^2-3ab)$

$=(a+b)(a^2-ab-b^2)+c(a^2-ab-b^2)+c(c^2-a^2-2ab-b^2)$

$=(a+b+c)(a^2-ab+b^2)+c[c^2-(a+b)^2]$

$=(a+b+c)(a^2-ab+b^2)+c(c-(a+b))(c+a+b)$

$=(a+b+c)(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca)$

[picmy]

ในการแยกตัวประกอบ วิธีที่มักจะใช้กันทั่วๆไปก็คือการจัดรูปจัดกลุ่ม และพยายามดึงตัวร่วมออกมา ซึ่งบางครั้งต้องอาศัยการสังเกตและความอดทน(ในบางครั้งทีพหุนามดีกรีสูงๆ)

สำหรับในกรณีของข้อนี้ พหุนามที่ให้มาเป็น "พหุนามสมมาตร" คือไม่ว่าคุณจะทำการสลับสับเปลี่ยน a,b,c อย่างไร พหุนามที่ได้ก็ยังเป็นตัวเดิม
ดังนั้นในกรณีนี้ ถ้าเราต้องการแยกตัวประกอบเราสามารถ นำ"พหุนามสมมาตร" ที่มีดีกรีน้อยกว่ามาลองทดสอบดู ว่าเป็นตัวประกอบรึเปล่า
อย่างเช่นในกรณีของข้อนี้ (นอกจากจะเป็น"พหุนามสมมาตร"แล้ว ยังเป็นHomogeneous อีกด้วย) เราสามารถลองนำ a+b+c , ab+bc+ca มาลองทดสอบดู
ดังนั้นเมื่อคุณเจอพหุนามสมมาตร คุณสามารถลองใช้วิธีนี้ดู เพราะถ้าคุณโชคดีเจอตัวประกอบ คุณก็สามารถลดดีกรีของพหุนามเดิมลงไปได้ หรือทำให้คุณมองออกได้ว่าคุณควรจะจัดกลุ่มอย่างไรให้สามารถดึงตัวร่วมได้

[หยินหยาง]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ nooonuii

$a^3+b^3+c^3-3abc=(a+b)(a^2-ab \color{red}{-}b^2)+c(c^2-3ab)$

$=(a+b)(a^2-ab \color{red}{-}b^2)+c(a^2-ab+b^2+\color{red}{c^2}-a^2+ab-b^2-3ab)$

$=(a+b)(a^2-ab\color{red}{-}b^2)+c(a^2-ab\color{red}{-}b^2)+c(c^2-a^2-2ab-b^2)$

$=(a+b+c)(a^2-ab+b^2)+c[c^2-(a+b)^2]$

$=(a+b+c)(a^2-ab+b^2)+c(c-(a+b))(c+a+b)$

$=(a+b+c)(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca)$

ผมเข้าใจว่าพิมพ์ผิดที่ถูกควรเป็นแบบนี้ครับ
ตรง $\color{red}{-}$ ต้องเป็นเครื่องหมาย บวก (+) ครับ และบบรทัดที่ 2 ตก $\color{red}{c^2}$

[jspan]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ nooonuii

$a^3+b^3+c^3-3abc=(a+b)(a^2-ab+b^2)+c(c^2-3ab)$


$=(a+b)(a^2-ab+b^2)+(a^2-ab+b^2+c^2-a^2+ab-b^2-c3ab)$


$=(a+b)(a^2-ab+b^2)+c(a^2-ab+b^2)+c(c^2-a^2-2ab-b^2)$

$=(a+b+c)(a^2-ab+b^2)+c[c^2-(a+b)^2]$

$=(a+b+c)(a^2-ab+b^2)+c(c-(a+b))(c+a+b)$

$=(a+b+c)(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca)$

$a^2-ab+b^2+.....-a^2+ab-b^2-c3ab$ กำหนดขึ้นมาเองใช่มั้ยคะ ?

[Zenith_B]

ครับ กำหนดขึ้นเพื่อ นำมาแยกต่อไป แต่เมื่อมีการเพิ่มเข้าก็ต้องลบออกด้วยตามนั้นครับ