เรขาคณิตวิเคราะห์

[sharkyboy]

ถ้า E และ F เป็นจุดกึ่งกลางด้าน AB และ CD ตามลำดับของรุปสี่เหลี่ยม ABCD แล้ว EF มีความสัมพันธ์อย่างไรกับ AD และ BC

โจทย์มีแค่นี้จริงๆครับ
ผมก้เลยไม่รุจะให้ABCD เป็นรุปสี่เหลี่ยมอะไรดี คัยมีคำแนะนำดีๆก้ช่วยกานหน่อยนะครับ

[nongtum]

ถ้าผมทดไม่ผิด จะได้ $EF=\frac12(AD+BC)$ ครับ ลองค่อยๆกำหนดจุดพิกัด E,F ดีๆ แล้วลองหาความยาวด้านที่เกี่ยวข้องดูนะครับ

[♂●IดПวุ่uวาe'?♀]

- -" ก็งงเหมือนกันนะครับ แต่คาดว่าน่าจะ มีขนาดเท่ากันนะครับ

ตอบ EF มีขนาดเท่ากับ AD และ BC

[sharkyboy]

ที่คุณ ♂●IดПวุ่uวาe'•♀ บอกเนี่ย...
ผมลองแล้วหละครับ แต่ว่าอ.ที่ให้โจทผมมา เขาบอกว่าไม่เท่ากันน่ะครับ เพราะถ้าสี่เหลี่ยมนี้เป้นสี่เหลี่ยมด้านไม่เท่าละครับ
ผมเลยไม่แน่ใจว่าที่คุณ ♂●IดПวุ่uวาe'•♀ จาถูกหรือป่าวน่ะครับ

[banker]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ sharkyboy

ถ้า E และ F เป็นจุดกึ่งกลางด้าน AB และ CD ตามลำดับของรุปสี่เหลี่ยม ABCD แล้ว EF มีความสัมพันธ์อย่างไรกับ AD และ BC

โจทย์มีแค่นี้จริงๆครับ
ผมก้เลยไม่รุจะให้ABCD เป็นรุปสี่เหลี่ยมอะไรดี คัยมีคำแนะนำดีๆก้ช่วยกานหน่อยนะครับ

โจทย์ครบถ้วนสมบูรณ์แล้วครับ
เพียงแต่เด็กไทยไม่ค่อยเคยชินกับการพิสูจน์ ก็เลยงงกับโจทย์แบบนี้

EF มีความสัมพันธ์กับ AD และ BC ดังนี้

$$EF\leqslant \frac{1}{2}(AD+BC)$$

วิธีทำ แบ่งเป็น 3 กรณี

กรณีที่ 1 สี่เหลี่ยม ABCD ไม่มีด้านใดขนานกัน



ลากเส้นทแยงมุม AC
จากจุด F ลาก FG ขนานกับ AD
จะได้ G แบ่งครึ่ง AC

ลาก GE จะได้ GE ขนาน กับ BC (เส้นแบ่งครึ่งด้าน)

สามเหลี่ยม ACD จะได้ $FG = \frac{1}{2} AD $
สามเหลี่ยม ABC จะได้ $GE = \frac{1}{2} BC $
ดังนั้น $FG+ GE = \frac{1}{2} (AD+BC)$

แต่ $FG+ GE$ ยาวกว่า EF หรือ EF สั้นกว่า $FG+ GE$
ดังนั้น EF จึงสั้นกว่า $ \frac{1}{2} (AD+BC)$
$EF < \frac{1}{2} (AD+BC)$


กรณีที่ 2 สี่เหลี่ยม ABCD มีด้านขนานกันหนึ่งคู่ (สี่เหลี่ยมคางหมู)




กรณีที่ 2.1 E และ F เชื่อมด้านที่ไม่ขนานกัน
จะได้ $EF = \frac{1}{2} (AD+BC)$

สามเหลี่ยม ACD จะได้ $FG = \frac{1}{2} AD$
สามเหลี่ยม ABC จะได้ $GE = \frac{1}{2} BC $

ดังนั้น $EF = \frac{1}{2} (AD+BC)$

กรณีที่ 2.1 E และ F เชื่อมด้านที่ขนานกัน (AD กับ BC) ก็จะได้แบบเดียวกับกรณีที่ 1
คือ $EF < \frac{1}{2} (AB+CD)$ (พิสูจน์แบบเดียวกัน)


กรณีที่ 3 สี่เหลี่ยม ABCD มีด้านขนานกัน สองคู่
(สี่เหลี่ยมจตุรัส สี่เหลี่ยมผืนผ้า สี่เหลี่ยมด้านขนาน สี่เหลี่ยมขนมเปียกปูน รูปว่าว)

มี EF = AD = BC

จะได้ $EF = \frac{1}{2} (AD+BC)$


สรุปความสัมพันธ์ EF กับ AD และ BC ดังนี้

$EF\leqslant \frac{1}{2}(AD+BC)$

โดยมีข้อกำหนดว่า
1. $EF < \frac{1}{2}(AD+BC)$ เมื่อ ABCD ไม่มีด้านใดขนานกัน หรือ เป็นสี่เหลี่ยมคางหมูที่ EF เชื่อมด้านที่ขนานกัน
2. $EF = \frac{1}{2}(AD+BC)$ เมื่อ ABCD มีด้านขนานกัน 2 คู่ แต่ถ้าเป็นคู่เดียว EF เชื่อมด้านที่ไม่ขนานกัน