Function problems

[Far]

เอามาจากในหนังสือ เห็นมันน่าหนุกดีเลยเอาให้ลองทำดู
1. กำหนดให้ f(x-1) = 2x² - f(x) จงหา f(x)
2. กำหนดให้ f(x) = x⁸ -100x⁷-102x⁶+92x⁵+202x⁴+x-90 จงหา f(101)

มีอีกเยอะ เดี๋ยวเอามาลงใหม่

[brother]

ข้อ 2 ใช้หารสังเคราะห์เศษที่เหลือตัวสุดท้ายคือค่าของ function เคย เห็นใน sheet high-speed maths center

[M@gpie]

1. กำหนดให้ \( f(x-1) = 2x^2 - f(x) \) จงหา \( f(x) \)
โจทย์น่าจะบอกอะไรมาอีกอย่างนึง แต่ไม่บอกอะไรเพิ่มเลยเหรอคับ
ก็ เดาว่า \( f \) เป็นฟังก์ชันพหุนามดีกรี 2 เนื่องจาก
\[ f(x-1)+f(x)=2x^2 \]
สมมติ \[ f(x)=ax^2+bx+c \]
แทนค่าจะได้สมการ เป้น \[ 2ax^2 +2(b-a)x+a-b+2c = 2x^2 \]
เทียบสัมประสิทธิ์จะได้ว่า \[ a=1,b=1,c=0 \]
ดังนั้น คำตอบคือ \( f(x)=x^2+x \)

[ไอ้ลูกระเบิด]

น่าจะผิดน่ะ
ไม่ควรใช้วิธีนี้

[picmy]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ M@gpie

1. กำหนดให้ \( f(x-1) = 2x^2 - f(x) \) จงหา \( f(x) \)
โจทย์น่าจะบอกอะไรมาอีกอย่างนึง แต่ไม่บอกอะไรเพิ่มเลยเหรอคับ
ก็ เดาว่า \( f \) เป็นฟังก์ชันพหุนามดีกรี 2 เนื่องจาก
\[ f(x-1)+f(x)=2x^2 \]
สมมติ \[ f(x)=ax^2+bx+c \]
แทนค่าจะได้สมการ เป้น \[ 2ax^2 +2(b-a)x+a-b+2c = 2x^2 \]
เทียบสัมประสิทธิ์จะได้ว่า \[ a=1,b=1,c=0 \]
ดังนั้น คำตอบคือ \( f(x)=x^2+x \)

ถึงแม้ว่าวิธีอาจมีปัญหาอยู่บ้าง แต่แนวความคิดถือว่าดีมากๆคับ

จาก \( f(x-1) = 2x^2 - f(x) \)
ลองจัดรูปสมการใหม่ (ซึ่งได้รับแรงบรรดาลใจจากการที่รู้แล้วว่า f(x) = x^2+x เป็นคำตอบหนึ่ง)
จะได้ว่า \[ f(x-1)-(x-1)^2-(x-1)=x^2+x-f(x) \]
กำหนดให้ \( g(x)=f(x)-x^2-x \)
เราสามารถเขียนสมการใหม่ได้ว่า \( g(x-1) = -g(x) \)
นั่นคือ \( g(x-1)+ g(x)=0 \)..........(*)
ฟังก์ชั่น g(x) ที่สอดคล้อง (*) มีมากมายไม่จำกัดครับ ยกตัวอย่างเช่น g(x) =sin(Pi*x+k) หรือ g(x)=cos(Pi*x+k) เป็นต้น (ในที่นี้ k เป็นค่าคงที่ใดๆ)
ดังนั้น f(x)=g(x) +x^2+x โดยที่ g(x)สอดคล้อง g(x)+g(x-1)=0 ก็คือคำตอบของสมการคับ (อย่าลืมว่าต้องเช็คขากลับด้วยนะคับ ลองเอาเข้าไปแทนดู )