โจทย์ตรีโกณครับ

[MATHMEMBER]

ถ้า $tan\alpha$ และ $tan\beta$ เป็นรากของสมการ $x^2+\pi x+\sqrt{2}=0$
จงหาค่า $sin^2(\alpha +\beta ) +\pi sin(\alpha +\beta)cos(\alpha +\beta)+\sqrt{2}cos^2(\alpha +\beta)$

ช่วยเฉลยให้หน่อยครับ

[poper]

$tan\alpha+tan\beta=-\pi$
$tan\alpha\cdot tan\beta=\sqrt2$
$tan(\alpha+\beta)=\frac{tan\alpha+tan\beta}{1-tan\alpha\cdot tan\beta}=\frac{\pi}{\sqrt{2}-1}$

$sin(\alpha+\beta)=\frac{\pi}{\sqrt{\pi^2+3-2\sqrt2}}$
$cos(\alpha+\beta)=\frac{\sqrt2-1}{\sqrt{\pi^2+3-2\sqrt2}}$

ตอบ $\sqrt2$

ไม่แน่ใจว่าถูกมั้ยนะครับ

[Slow_Math]

ผมทำแล้วอึ้งกับผลลัพธ์อยู่ 5 นาที

จัดรูปก่อนจะได้เป็น $cos^2(a+b)[tan^2(a+b)+\pi tan(a+b)+\sqrt{2}]$
แล้วก็ใช้เอกลักษณ์ tan ธรรมดา จะได้ $cos^2(a+b)(\pi^2(4+3\sqrt{2})+\sqrt{2}]$

$cos^2(a+b) = \pi^2(3+2\sqrt{2})+1$ (หาได้จาก $tan(a+b)$) เช่นกัน

ผลลัพธ์สุดท้ายคือ $\dfrac{\pi^2(4+3\sqrt{2})+\sqrt{2}}{\pi^2(3+2\sqrt{2})+1}$
หลังจากผ่าน 5 นาทีมาจึงได้ $\sqrt{2} $

[MATHMEMBER]

แก้แล้วได้ $\sqrt{2} $ ครับ
ผมเห็นสมการสองสมการมันคล้ายๆกันนะครับ
(ไม่ทราบว่าโจทย์ต้องการให้ใช้ความสัมพันธ์อะไรหรือปล่าว)

[PP_nine]

เป็นข้อสอบเก่าของทุนคิงครับ โจทย์เล่นกับการใช้เอกลักษณ์ตรีโกณ ตอบ $\sqrt{2}$ ถูกแล้วครับ

marathon:ม.ปลาย