Algebra Marathon

[nongtum]

เจอปัญหาน่าสนใจในหนังสือที่เพิ่งยืมจากห้องสมุดมาครับ เลยเอาลองมาให้ทำกัน
หมายเหตุ: จากโจทย์ข้อนี้สามารถแตกเป็นปัญหาใหม่ได้อีกนับสิบข้อแน่ะ ทำได้แล้วจะมาต่อให้นะครับ

26. ให้ $A,B\in Mat_n\mathbb{R},\ A=(a_{ij}),\ B=(b_{ij})$ เป็นเมตริกซ์จัตุรัสสองเมตริกซ์ที่กำหนดโดย $$a_{ij}=(-1)^{\text{max}(i,j)},\ b_{ij}=(-1)^{\text{min}(i,j)},\ i,j=1,2,\dots ,n$$ ตามลำดับ จงแสดงว่า $$\det A=\det B$$ (Gazeta Mathematica no. 12/1981 problem 19035, proposed by Marius Dadarlat)

แถมให้อีกข้อครับ จากเล่มเดียวกัน แต่ไม่ระบุแหล่ง

27. จงแก้สมการ $$4^x9^{\frac1x}+4^{\frac1x}9^x=210$$

[nooonuii]

ข้อความเดิมของคุณ nongtum:


26. ให้ $A,B\in Mat_n\mathbb{R},\ A=(a_{ij}),\ B=(b_{ij})$ เป็นเมตริกซ์จัตุรัสสองเมตริกซ์ที่กำหนดโดย $$a_{ij}=(-1)^{\text{max}(i,j)},\ b_{ij}=(-1)^{\text{min}(i,j)},\ i,j=1,2,\dots ,n$$ ตามลำดับ จงแสดงว่า $$\det A=\det B$$ (Gazeta Mathematica no. 12/1981 problem 19035, proposed by Marius Dadarlat)

ให้ $C$ เป็น matrix ที่เกิดจากการคูณแถวที่ $i$ ของ matrix $A$ ด้วย $(-1)^i$
จะได้ว่า $det(C) = (-1)^{n(n+1)/2}det(A)$
ให้ $D$ เป็น matrix ที่เกิดจากการคูณแถวที่ $i$ ของ matrix $C^t$ด้วย $(-1)^i$
จะได้ว่า $det(D) = (-1)^{n(n+1)/2}det(C^t) = det(A)$
ต่อไปพิจารณา matrix $E = D^t$ เราจะได้ว่า
$$e_{ij} = (-1)^{\max(i,j)+i+j} = (-1)^{2\max(i,j) + \min(i,j)} = (-1)^{\min(i,j)} = b_{ij} $$
เนื่องจาก $\max(i,j) + \min(i,j) = i+j$
ดังนั้น $det(A) = det(B)$

[nooonuii]

ข้อความเดิมของคุณ nongtum:


27. จงแก้สมการ $$4^x9^{\frac1x}+4^{\frac1x}9^x=210$$

ได้ $x=2,1/2$ ครับ แต่ยังหาวิธีเจ๋งๆมาปราบข้อนี้ไม่ได้เลย

[nongtum]

ขอบคุณที่ขุดกระทู้ครับ นึกว่ามันจะร้างไปซะแล้ว

ข้อ 26 เดี๋ยวจะสแกนเฉลยมาให้ดูครับ เพราะไม่มีเวลาพิมพ์เอง จะได้ช่วยกันวิเคราะห์เฉลยครับ

solution

hint 27.

หารตลอดด้วยหก แล้วทำทางขวามือให้เป็นศูนย์โดยใช้ $35=2^3+3^3$

[warut]

ข้อความเดิมของคุณ nongtum:
26. ให้ $A,B\in Mat_n\mathbb{R},\ A=(a_{ij}),\ B=(b_{ij})$ เป็นเมตริกซ์จัตุรัสสองเมตริกซ์ที่กำหนดโดย $$a_{ij}=(-1)^{\text{max}(i,j)},\ b_{ij}=(-1)^{\text{min}(i,j)},\ i,j=1,2,\dots ,n$$ ตามลำดับ จงแสดงว่า $$\det A=\det B$$ (Gazeta Mathematica no. 12/1981 problem 19035, proposed by Marius Dadarlat)

ข้อความเดิมของคุณ nooonuii:


ให้ $C$ เป็น matrix ที่เกิดจากการคูณแถวที่ $i$ ของ matrix $A$ ด้วย $(-1)^i$
จะได้ว่า $det(C) = (-1)^{n(n+1)/2}det(A)$
ให้ $D$ เป็น matrix ที่เกิดจากการคูณแถวที่ $i$ ของ matrix $C^t$ด้วย $(-1)^i$
จะได้ว่า $det(D) = (-1)^{n(n+1)/2}det(C^t) = det(A)$
ต่อไปพิจารณา matrix $E = D^t$ เราจะได้ว่า
$$e_{ij} = (-1)^{\max(i,j)+i+j} = (-1)^{2\max(i,j) + \min(i,j)} = (-1)^{\min(i,j)} = b_{ij} $$
เนื่องจาก $\max(i,j) + \min(i,j) = i+j$
ดังนั้น $det(A) = det(B)$

วิธีทำของคุณ nooonuii สวยและง่ายกว่าเฉลยที่คุณ nongtum เอามาให้มากๆเลยครับ

แต่ผมมีจุดสงสัยอยู่นิดนึงคือ ถ้าผมคิดไม่ผิด $D=D^t$ อยู่แล้ว เราไม่น่าจะต้องพิจารณา $E=D^t$ อีกนี่ครับ

ที่ผมคิดได้คือ จาก $a_{ij}=(-1)^{\max(i,j)}$ ดังนั้น $c_{ij}=(-1)^{\max(i,j)+i}$ และ $C^t= \{ (-1)^{\max(i,j)+j} \}$ เราจึงได้ว่า $d_{ij}=(-1)^{\max(i,j)+i+j}$

[nooonuii]

ข้อความเดิมของคุณ warut:
วิธีทำของคุณ nooonuii สวยและง่ายกว่าเฉลยที่คุณ nongtum เอามาให้มากๆเลยครับ

แต่ผมมีจุดสงสัยอยู่นิดนึงคือ ถ้าผมคิดไม่ผิด $D=D^t$ อยู่แล้ว เราไม่น่าจะต้องพิจารณา $E=D^t$ อีกนี่ครับ

ที่ผมคิดได้คือ จาก $a_{ij}=(-1)^{\max(i,j)}$ ดังนั้น $c_{ij}=(-1)^{\max(i,j)+i}$ และ $C^t= \{ (-1)^{\max(i,j)+j} \}$ เราจึงได้ว่า $d_{ij}=(-1)^{\max(i,j)+i+j}$

จริงด้วยครับ ผมลืมเช็คไปเลยว่า D มัน symmetric จริงๆก็ดูง่ายมากจากค่าสมาชิกของ $D^t$ เองน่ะแหละ ตอนผมคิดผมใช้กระบวนการคูณค่าคงที่แล้ว transpose ก็เลยไม่ได้คำนึงถึงว่า matrix ที่ได้จะมีหน้าตายังไงบ้าง เพราะเป้าหมายคือไปให้ถึง B ขอบคุณมากครับ

[warut]

ข้อความเดิมของคุณ nongtum:
27. จงแก้สมการ $$4^x9^{\frac1x}+4^{\frac1x}9^x=210$$

จะเห็นว่า ถ้า $x<0$ แล้ว $4^x9^{1/x}+4^{1/x}9^x < 1\cdot1+1\cdot1=2$ ดังนั้น $x>0$

ให้สังเกตว่า ถ้า $x=r$ เป็นคำตอบของสมการโจทย์แล้ว $x=1/r$ ก็จะเป็นคำตอบด้วย

เนื่องจาก $x=2$ เป็นคำตอบอันหนึ่ง เราจึงได้ว่า $x=1/2$ เป็นคำตอบด้วย

ถ้าหากเราสามารถแสดงได้ว่า $4^x9^{1/x}+4^{1/x}9^x$ เป็นฟังก์ชันเพิ่ม (strictly increasing function) เมื่อ $x>1$ แล้ว เราจะสรุปได้ว่า สมการโจทย์มีคำตอบเพียง 2 คำตอบเท่านั้นคือ $x=2,1/2$

ต่อจากนี้ไป เราจะพูดถึงกรณีที่ $x>1$ เท่านั้นนะครับ

เนื่องจาก $$ 4^x9^{1/x} + 4^{1/x}9^x = 4^{x+1/x} (a^x+a^{1/x}) $$ โดยที่ $a=9/4$ และ $4^{x+1/x}$ เป็นฟังก์ชันเพิ่ม (เพราะเราทราบว่า $x+1/x$ เป็นฟังก์ชันเพิ่ม โดยดูจากค่าของ derivative ของมัน) ดังนั้นจึงเหลือเพียงการแสดงว่า $$ f(x):= a^x+a^{1/x} $$ เป็นฟังก์ชันเพิ่ม

เนื่องจาก $$f'(x)= \ln a \left( a^x- \frac{a^{1/x}}{x^2} \right) $$ และ $\ln a>0$ และ $$a^x> a^{1/x}> \frac{a^{1/x}}{x^2} $$ เราจึงได้ว่า $f'(x)>0$ นั่นคือ $f(x)$ เป็นฟังก์ชันเพิ่ม ซึ่งจะนำเราไปสู่ข้อสรุปที่ต้องการครับ

ป.ล. ผมคิดไม่ออกครับว่าจะใช้ hint ที่คุณ nongtum ให้มายังไง เลยทำไปดุ่ยๆแบบนี้ล่ะครับ

[nooonuii]

ขอปลุกกระทู้ด้วยโจทย์ง่ายๆบ้างครับ

28. จงหาคำตอบที่เป็นจำนวนจริงของสมการ

$$\frac{1}{(1+x)^3}+\frac{1}{(1-x)^3}+\frac{5}{2}=0$$

[passer-by]

แปะง่ายๆอีกข้อแล้วกัันครับ

29. Solve for real number $x$

$ 2550^{x^2+x}+\log_{2550} x = 2550^{x+1} $

HINT

เปรียบเทียบ $ x^2+x $ และ $x+1$

[nooonuii]

แถมให้อีกข้อครับ เป็นเอกลักษณ์ที่ได้ระหว่างทำการบ้านข้อนึง สวยดีครับ

30. ให้ $x_1,...,x_n$ เป็นจำนวนจริงที่แตกต่างกันทั้งหมด จงพิสูจน์ว่า
$$\frac{1}{(x_1-x_2)(x_1-x_3)\cdots (x_1-x_n)}+\frac{1}{(x_2-x_1)(x_2-x_3)\cdots (x_2-x_n)}+\cdots+\frac{1}{(x_n-x_1)(x_n-x_2)\cdots (x_n-x_{n-1})} = 0$$

Hint:

Partial Fraction

[MoDErN_SnC]

ขอตอบข้อที่ 28 ครับ
ไม่รู้จะถูกไหม

\[
\begin{array}{l}
\frac{{(1 - x)^3 + (1 + x)^3 }}{{\left[ {(1 - x)(1 + x)} \right]^3 }} = - \frac{5}{2} \\
\frac{{(1 - x + 1 + x)\left[ {(1 - x)^2 - (1 - x)(1 + x) + (1 + x)^2 } \right]}}{{\left[ {1 - x^2 } \right]^3 }} = - \frac{5}{2} \\
\frac{{2\left[ {(1 - 2x + x^2 ) - (1 - x^2 ) + (1 + 2x + x^2 )} \right]}}{{\left[ {1 - x^2 } \right]^3 }} = - \frac{5}{2} \\
4\left[ {(1 - 2x + x^2 ) - (1 - x^2 ) + (1 + 2x + x^2 )} \right] = - 5\left[ {1 - x^2 } \right]^3 \\
4\left[ {3x^2 + 1} \right] = - 5\left[ {1 - x^2 } \right]^3 \\
12x^2 + 4 = - 5\left[ {1 - 3x^2 + 3x^4 - x^6 } \right] \\
12x^2 + 4 = - 5 + 15x^2 - 15x^4 + 5x^6 \\
5x^6 - 15x^4 + 3x^2 - 9 = 0 \\
5x^4 (x^2 - 3) + 3(x^2 - 3) = 0 \\
(5x^4 + 3)(x^2 - 3) = 0 \\
Select{\rm Real Number Answer:} \\
{\rm So, consider x}^2 - 3 = 0;x = \pm \sqrt 3 \\
\end{array}
\]

[nooonuii]

ข้อ 28 ถูกแล้วครับ ข้อนี้ผมคิดโดยใช้เอกลักษณ์ยอดฮิตที่ผมนำมาใช้อยู่บ่อยๆ
สังเกตว่า $(1+x)+(1-x)+(-2)=0$ ดังนั้น
$$(1+x)^3 + (1-x)^3 + (-2)^3 = 3(-2)(1-x)(1+x)$$
ทำให้เราสามารถจัดรูปสมการโจทย์ได้เป็น
$$5(1-x^2)^3-12(1-x^2)+16=0$$
แต่เราทราบว่าพหุนาม $5t^3-12t+16=(t+2)(5t^2-10t+8)$ มีรากจริงเพียงค่าเดียวคือ $-2$ ดังนั้น
$$1-x^2=-2\Rightarrow x=\pm\sqrt{3}$$

[kanakon]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ passer-by

แปะง่ายๆอีกข้อแล้วกัันครับ

29. Solve for real number $x$

$ 2550^{x^2+x}+\log_{2550} x = 2550^{x+1} $

HINT

เปรียบเทียบ $ x^2+x $ และ $x+1$

จัดรูปใหม่แล้วพิจารณาค่าจะได้ x = 1 เพียงค่าเดียว

[passer-by]

คำตอบถูกแล้วล่ะครับคุณ kanakon แต่ขยายความวิธีทำเพิ่มอีกซักหน่อยก็จะดีนะครับ เพื่อเป็นประโยชน์แก่คนอื่นๆที่มาอ่าน

[M@gpie]

วิธีของพี่ noonuii นี่ฝันมาไกลทีเดียวครับ รู้สึกว่าวิธีของน้อง ModernSnc จะ ธรรมชาติดีกว่า