#1
|
|||
|
|||
สมสัณฐาน
จงพิสูจน์ว่า กรุป Z ภายใต้การบวก ไม่สมสัณฐานกับกรุปจำนวนตรรกยะ Q ภายใต้การบวก
รบกวนคุณ NOOONUII ครับ เพราะผมคิดเองจะผิด |
#2
|
|||
|
|||
ข้อนี้ถ้ารู้จักสมการโคชีใน Functional Equation ที่เด็กๆเขาเรียนกัน
ในค่ายสอวน. สสวท. จะเข้าใจแนวคิดได้มากครับ สมมติให้ $f: (\mathbb{Z},+)\to (\mathbb{Q},+)$ เป็น homomorphism ดังนั้นเราจะได้ว่า $f(x+y)=f(x)+f(y)$ ทุก $x,y\in\mathbb{Z}$ ต่อไปให้พิสูจน์ว่า 1. $f(0)=0$ 2. $f(n)=f(1)n$ ทุก $n\in\mathbb{N}$ อันนี้ใช้ induction ได้ 3. $f(-1)=-f(1)$ 4. $f(-n)=-f(1)n$ วิธีพิสูจน์ทั้งสี่ข้อให้ลองแทนค่า $x,y$ ที่เหมาะสมตามสมการข้างบนครับ ดังนั้น $f(x)=f(1)x$ ทุก $x\in\mathbb{Z}$ เมื่อ $f(1)$ เป็นจำนวนตรรกยะ สมมติว่า $f(1)=\dfrac{r}{s}$ ถ้า $r=0$ เราจะได้ว่า $f\equiv 0$ ซึ่งไม่เป็น isomorphism สมมติว่า $r\neq 0$ จากนั้น พิสูจน์ว่า $\dfrac{r}{2s}\not\in f(\mathbb{Z})$ ดังนั้น $f$ ไม่ onto สรุปว่า ทุก homomorphism $f:\mathbb{Z}\to\mathbb{Q}$ ไม่เป็น isomorphism เนื่องจากไม่ onto เราจึงได้ว่า $\mathbb{Z}\not\cong\mathbb{Q}$
__________________
site:mathcenter.net คำค้น |
#3
|
|||
|
|||
ขอบคุณมากครับ ผมก็ดูแล้วเข้าใจ แต่ไม่รู้เป็นไงพอเจออะไรอย่างนี้อีกในห้องสอบจะทำไม่ได้
10 สิงหาคม 2009 21:42 : ข้อความนี้ถูกแก้ไขแล้ว 1 ครั้ง, ครั้งล่าสุดโดยคุณ ครูนะ |
|
|