ข้อสอบ ENT 45 มีนาคมเรื่องโดเมนของคอมโพสิต

[brother]

เป็นข้อสอบENT มีนาคม45 ข้อ 6(ตัวเลือก) ครับมีเฉลยไม่ตรงกันหลายสำนักพิมพ์มีแนวคิดที่ถูกต้องอย่างไรกันแน่ครับช่วยทีครับท่านผู้รู้จริง
กำหนดให้ f(x) = sqrt((5-g(x)) โดยที่ g(x) = sqrt(5+2x) ถ้า Dfog = [a, b] แล้ว 4(a + b) เท่ากับข้อใดต่อไปนี้
1. 15 2. 20 3. 25 4. 30
ขอบพระคุณมากครับ
ขอโทษนะครับผมใช้โปรแกรมในคณิตศาสตร์ไม่ได้แล้วผมจะฝึกใช้นะครับ

[warut]

คงหมายถึง ข้อ 7 ตอนที่ 2 ใช่มั้ยครับ
ถ้าผมจำไม่ผิด \(f\circ g\) จะนิยามก็ต่อเมื่อ \(R_g\subseteq D_f\)
แต่ในกรณีนี้ \(R_g\not\subseteq D_f\) ดังนั้นเราจึงไม่สามารถหา \(f\circ g\) และ \(D_{f\circ g}\) ได้ครับ
ยกตัวอย่างเช่น เราไม่สามารถหาค่าของ \(f(g(110))\) ได้ เป็นต้น

[M@gpie]

เอาตามโจทย์ก่อนนะครับ
โจทย์กำหนดให้
\( f(x)=\sqrt{5-g(x)} \) และ \( g(x)=\sqrt{5+2x} \)
ก่อนอื่นสังเกตุว่า \[ (fog)(x)=\sqrt{5-g(g(x)))}\]
หรือ นั่นคือ \[ (fog)(x)=\sqrt{5-\sqrt{5+2\sqrt{5+2x}} }\]
เนื่องจาก \[ 0 \leq \sqrt{5-\sqrt{5+2\sqrt{5+2x}}} \leq 5 \]
ยกกำลังสองจะได้ว่า
\[ 0 \leq 5-\sqrt{5+2\sqrt{5+2x}} \leq 25 \]
แก้สมการมาจนได้คำตอบคือ \( [ -\frac{5}{2} , \frac{95}{2}] \)
ดังนั้น \[ 4(a+b)=180 \]
แต่มันไม่มีช้อยซะได้ แสดงว่าโจทย์พิมผิดแหงๆ ครับ ตามความคิดผมโจทย์ควรจะเป็น
\( f(x)=\sqrt{5-x} \) และ \( g(x)=\sqrt{5+2x} \)
แล้วก็แก้ด้วยวิธีการเดียวกันกับข้างบน

[M@gpie]

อ่า คุณ warut สับสนไปนิดนึงนะครับ โดยทั่วไป
\( (fog)(x) \) นิยามเมื่อ \( R_g \bigcap D_f \neq \phi \)ครับ
โดยที่ ถ้า \( R_g \subseteq D_f \) แล้ว เราสรุปได้ว่า \( D_{fog}=D_g\)
แต่ถ้า ถ้า \( R_g \not\subset D_f \) แล้ว เราสรุปได้ว่า \( D_{fog}\neq D_g \) ครับ ซึ่งก็หมายถึงว่า มีค่าบางค่าในโดเมนของ g ไม่สามารถส่งค่าให้กับ f ได้ทำให้โดเมนแคบลง

[warut]

ถ้าเป็นตามที่คุณ M@gpie พูดจริง แล้ว

1. ผมหาคำตอบได้ 180 เท่ากับของคุณ M@gpie ครับ

2. นิยามของ \(f\circ g\) เปลี่ยนไปจากสมัยที่ผมเรียน และไม่ตรงกับที่
http://mathworld.wolfram.com/Composition.html

[M@gpie]

ผมว่า ความหมายของเค้า คือประโยค
fog , where f is a function whose domain includes the range of g.
น่าจะหมายถึง อย่างที่ผมบอกแหละครับ เค้าหมายถึงว่า f ที่จะเอามา composite กับ g ได้
ต้องมีเรนจ์ของ g อยู่ในโดเมน ก็คือ ขอให้มี เรนจ์ g ซักตัวนึง ก็สามารถหา fog ได้ แต่ โดเมนของ fog เองจะไม่เท่ากับ โดเมนของ f
แบบนี้รึเปล่าครับ

[warut]

เอ...เท่าที่ผมทราบ คำว่า "A includes B" ซึ่งก็คือ "B is included in A"
ในทางคณิตศาสตร์หมายถึง \(A\supseteq B\) ซึ่งก็คือ \(B\subseteq A\) ไม่ใช่เหรอครับ

งานนี้ต้องการความเห็นจากบุคคลที่ 3, 4, 5, ... แล้วล่ะครับ

[M@gpie]

นั่นสิครับ ผมภาษาอังกิดไม่ค่อยแข็งแรงซะด้วย

[warut]

ระหว่างที่รอความเห็นจากคนอื่นๆ ผมขอแสดงวิธีคิดของผมที่ได้คำตอบเท่ากับ 180 นะครับ

จาก g(x) = ึ5 + 2x ดังนั้น D_g = [-5/2, ฅ) และ R_g = [0, ฅ)

จาก f(x) = ึ5 - g(x)
ดังนั้น D_f = { x ฮ D_g | g(x) ฃ 5 } = { x ฮ D_g | x ฃ 10} = [-5/2, 10]

ถ้าเรานิยามตามแบบคุณ M@gpie จะได้\[D_{f\circ g}=\{x\in D_g\mid g(x)\in D_f=
[-\frac{5}{2},10]\}\]แต่ g(x) ฮ R_g = [0, ฅ) ดังนั้น\[D_{f\circ g}=
\{x\in D_g\mid g(x)\in[0,10]\}=[-\frac{5}{2},\frac{95}{2}]\]
ดังนั้น a = -5/2, b = 95/2 และ 4(a + b) = 180

สิ่งนึงที่พอจะสรุปได้ตอนนี้คือโจทย์ข้อนี้มีปัญหาแน่ๆ เพราะไม่ว่าจะนิยาม \(f\circ g\)
แบบไหนก็ไม่มีตัวเลือกที่ถูกต้อง ส่วนที่คุณ gon คิดได้ข้อ ง. ก็คงจะคิดเหมือนผม
ตอนแรก คือไปคิดค่า 4(a + b) จาก D_f น่ะครับ

[gon]

ถ้ายึดตามแบบเรียน หลักสูตรก่อนปี 2533 จะนิยามแบบแรก ส่วนปี 2533 ซึ่งเป็นฉบับปรับปรุงเป็นต้นมา จนถึงปัจจุบัน จะใช้แบบหลังครับ. โดยส่วนตัวผมก็เห็นว่ามันควรจะนิยามแบบหลัง เพราะวัตถุประสงค์ของเราคือการนำฟังก์ชัน 2 อันมาสร้างฟังก์ชันแบบใหม่ขึ้นมา ถ้าเราไปนิยามตามแบบแรก โอกาสที่เราจะมีฟังก์ชันประกอบ ก็จะมีน้อยลงไปด้วย.

อ้อ. ใช่จริง ๆ ครับ.โจทย์ข้อนี้มีปัญหาจริง ๆ โดเมนที่ถูกต้องเป็น [-5/2, 95/2]

ดูรูปประกอบด้วยดีกว่านะ.

[warut]

ว้าวๆๆ นิยามเปลี่ยนไปแล้วจริงๆด้วย ขอบคุณคุณ gon มากครับที่มาช่วยให้ความกระจ่าง
แต่ผมรู้สึกว่าที่เมืองนอกส่วนใหญ่เค้าใช้นิยามแบบไทยเดิมกันนะ ใช่มั้ยครับคุณ nooonuii

[M@gpie]

มีการเปลี่ยนนิยามด้วยเหรอครับเนี่ย เหอๆๆ ไม่ยักรู้มาก่อนเลย

[brother]

เอาแบบหลักสูตรใหม่ครับตอบเท่าไรกันแน่ครับ

[gon]

สรุปว่าตอบ 180 ครับ.