เพชรยอดมงกุฎ ม.ต้น-ม.ปลาย'2547

[R-Tummykung de Lamar]

รายงานผล สถานการณ์ตอนนี้ครับ (ผ่านมา 10 ข้อ)
1.ปพน ถูกข้อ1 ,6 และ 9 \( \qquad \)รวม 3 คะแนน
2.ฉายฉันท์ ถูกข้อ 5 ,6 และ 9\( \qquad \) รวม 3 คะแนน
3.นรเทต ถูกข้อ 4,6 และ 9\( \qquad \) รวม 3 คะแนน
4.พิทยพัฒน์ ถูกข้อ 6 และ 9 \( \qquad \)รวม 2 คะแนน
5.เฉลิมชัย ถูกข้อ 6 และ 9\( \qquad \) รวม 2 คะแนน
6.ณัฐธา ถูกข้อ 6 ข้อเดียว \( \qquad \) รวม 1 คะแนน
7.ภาสินี ถูกข้อ 6,8 และ 9\( \qquad \)รวม 3 คะแนน
8.ทัตธนนันท์ ถูกข้อ 6 และ 9 \( \qquad \)รวม 2 คะแนน
9.หรรษธร ถูกข้อ 3 ,8และ9\( \qquad \)รวม 2 คะแนน
10.กานต์ ถูกข้อ 9 ข้อเดียว \( \qquad \) รวม 1 คะแนน

จะเห็นว่ามีคนได้ 3 (ซึ่งเป็นคะแนนสูงสุด) ถึง 5 คน คือ ปพน ฉายฉันท์ นรเทศ ภาสินี และหรรษธร
อ.ณรงค์ ปั้นนิ่ม จึงออกมาบอกว่า ให้ 5 คนนี้แข่งต่อ แบบ แซทเทิลเดท หมายถึง แข่งเป็นข้อๆ ถ้าคนอื่นถูก แต่เราไม่ถูก เราก็ตกรอบ ..ครับ ก็เลยมีข้อ 11 ต่อ

[gon]

ข้อ 6 นี่ดูท่าจะออกมาช่วยนะครับ. ขอลองต่อข้อ 8
จับสมการพวกกันให้หมดจะได้ว่า \[ 3(x_1 + x_2 + \cdots + x_{20}) = 3 + 6 + \cdots + 60\]
\[ x_1 + x_2 + \cdots + x_{20} = 1 + 2 + \cdots + 20 = (10)(21) = 210 \]
\[ x_1 + x_{20} + (x_2 + x_3 + x_4) + (x_5 + x_6 + x_7) + \cdots + (x_{17} + x_{18} + x_{19}) = 210 \]
\[ x_1 + x_{20} + 3(2 + 5 + \cdots + 17) = 210 \Rightarrow x_1 + x_{20} = 210 - 3(3)(19) = 39 \]

[Alberta]

11 วิธีไม๊เอ่ย (สำหรับข้อ7นะครับ

[Alberta]

ขอแก้ครับได้4แบบไม๊

[Tony]

ข้อ 9. ตอบ 56 ตารางหน่วยไหมครับ

[Tony]

ข้อ 3 ครับ
จะได้ a = 2
b = 3
c = 10
a³+b²+c = 27

[R-Tummykung de Lamar]

ข้อความเดิมของคุณ Alberta:
ขอแก้ครับได้4แบบไม๊

อนุญาต ครับ (!?!?)
...4แบบ ถูกแล้วครับ(แสดงวิธีคิดด้วยสิครับ)

ข้อความเดิมของคุณ Tony:
ข้อ 3 ครับ
จะได้ a = 2
b = 3
c = 10
a³+b²+c = 27

ถูกเช่นกันครับ...

[R-Tummykung de Lamar]

ข้อที่ 11 ครับ
จากรูป AE//BD \(\qquad \)AB = 5 หน่วย
ถ้า AE = aึ2+bึ6 หน่วย แล้ว a+b² มีค่าเท่าไร

ข้อนี้ ..และ หลังจากนี้ รู้สึกว่า 1 นาทีครึ่งไม่ก็ 2 นาทีครับ

[R-Tummykung de Lamar]

ข้อที่ 12 ครับ
กำหนดให้ a> 0 และ a^4x=3+2ึ2
ถ้า \( \displaystyle{\frac{a^{6x}-a^{-6x}}{a^{2x}-a^{-2x}}} \)=m
แล้ว m²+1 มีค่าเท่าไร

[R-Tummykung de Lamar]

ข้อที่ 13 ครับ
กำหนด tan A =\( \displaystyle{\sqrt[3]{5\sqrt{13}+18}} \), cot A =\( \displaystyle{\sqrt[3]{5\sqrt{13}-18}} \)
0<A<90ฐ ค่าของ \( \displaystyle{\sqrt{tan^4 A+25tan^2 Acot^2 A+cot^4 A}} \) มีค่าเท่ากับเท่าไร

[R-Tummykung de Lamar]

ข้อที่ 14 ครับ
กำหนด x³-3xy² = 54 และ y³-3x²y = 297 ค่าของ x²+y² เป็นเท่าไหร่

รู้สึกข้อนี้จะลดลงมาเหลือ 1 นาทีครับ

[R-Tummykung de Lamar]

ข้อที่ 15 ครับ
ถ้า \( \displaystyle{\frac{34}{13}} = a+ \frac{1}{1+\frac{1}{1+\frac{b}{c}}} \)


(ข้างล่างคือ \(\ \ \displaystyle{\frac{b}{c}} \) นะครับ ..ตัวเล็กจัง)
แล้ว a²b²c หารด้วย 8 เหลือเศษเท่าไร (ข้อนี้รู้สึกว่า 1 นาทีครับ)

ขออภัยจริงๆครับ โจทย์คือ \( \displaystyle{\frac{34}{13}} = \)
นะครับ พิมพ์ตกไป

[gon]

ข้อ 15 นี่มันแปลก ๆ อยู่นะครับ. เพราะถ้าจัดรูปเป็น
\( 34 = a + \frac{b+c}{b+2c}\, \) จะเห็นได้ว่า ถ้าโจทย์หมายถึง a, b, c เป็นจำนวนเต็มบวก (ใช่ไหม ดูจากโจทย์น่าจะหมายถึงแบบนั้น) แล้ว \( \frac{b+c}{b+2c}\) จะเป็นเศษส่วนที่ไม่เป็นจำนวนเต็มเสมอ

[gon]

ข้อ 14. นี่ก็แปลก คำตอบที่เป็นจำนวนจริงมันมีอย่างน้อย 3 คำตอบ และก็ยากด้วย ทำกันไปได้ไง ? ใครมีวิธีที่ง่ายกว่านี้บอกที รู้สึกเหนื่อยมาก ในที่นี้จะสมมติว่าได้ (x, y) เป็นจำนวนเต็มสวย ๆ คือ (x, y) = (6, -3) ก็ได้คำตอบ คือ 45

\(\quad\quad x^3 - 3xy^2 = 54 \quad \cdots (1) \)
\(\quad\quad y^3 - 3x^2y = 297 \quad \cdots (2) \)
สมมติให้ y = mx แทนลงใน (1) และ (2) จะได้ว่า
\(\quad\quad x^3(1 - 3m^2) = 54 \quad \cdots (3)\)
\(\quad\quad x^3(m^3 - 3m) = 297 \quad \cdots (4) \)
\((3)/(4) : \quad\quad \displaystyle{ \frac{1 - 3m^2}{m^3 - 3m} = \frac{2}{11} } \Rightarrow 2m^3 + 33m^2 - 6m - 11 = 0 \quad \) \( \Rightarrow (2m + 1)(m^2 + 16m - 11) = 0 \quad\)
\( \therefore \quad\quad\quad\quad\quad m = \frac{-1}{2}, -8 \pm 5\sqrt{3} \)
\( ถ้า\quad m = -\frac{1}{2} \quad แทนลงใน \,(3) \, จะได้ว่า\, x = 6 \quad \therefore x^2 + y^2 = x^2(1 + m^2) = 36(\frac{5}{4}) = 45 \)
\( ถ้า\quad m = -8 - 5\sqrt{3} \quad แทนลงใน \,(3) \, จะได้ว่า\, x = \quad \cdots \Rightarrow ทำต่อไม่ไหวแล้ว \)

[warut]

ข้อ 14. ผมยังไม่ได้คิดวิธีทำนะครับ แค่มาช่วยคุณ gon เช็คคำตอบก่อน

ข้อนี้โจทย์คงไม่ผิดครับ ผมลองเช็คด้วยคอมพิวเตอร์พบว่าคำตอบที่เป็นไปได้ทั้งหมดคือ
\[\left(x,y\right)=\left(6,-3\right),
\left(-3+\frac{3\sqrt3}{2},\frac{3}{2}+3\sqrt3\right),
\left(-3-\frac{3\sqrt3}{2},\frac{3}{2}-3\sqrt3\right)\]
ซึ่งจากทั้ง 3 กรณีจะได้ x² + y² = 45 เหมือนกันหมดครับ