เพชรยอดมงกุฎ ม.ต้น-ม.ปลาย'2547

[gon]

ข้อ 16

ถ้า \((3, 3, 3)\, \) เป็นคำตอบหนึ่งของสมการ \(x^2 + y^2 + z^2 = xyz\, \)
จงหาจำนวนเต็ม \((a, b, c)\) น้อยที่สุดซึ่ง \(0 < a < b < c\)

\(\bf{Solve} : x^2 + y^2 = xyz - z^2 = z(xy - z) \)
\(\bf \quad \quad \because 3^2 + 3^2 + 3^2 = (3)(3)(3) \Rightarrow (3 + 3)^2 - 2(3)(3) + 3^2 = (3)(3)(3) \)
\(\bf \quad \quad \therefore 3^2 + 6^2 = 45 = z(18 - z) \Rightarrow z^2 - 18z + 45 = 0 \Rightarrow (z - 3)(z - 15) = 0 \)
\(\bf \quad \quad \therefore (x, y, z) = (3, 3, 6) , (3, 6, 15) \Rightarrow (a, b, c) = (3, 6, 15) \Rightarrow a + b + c = 24 \, Ans\)

[warut]

ข้อความเดิมของคุณ gon:
\(\bf \quad \quad \because 3^2 + 3^2 + 3^2 = (3)(3)(3) \Rightarrow (3 + 3)^2 - 2(3)(3) + 3^2 = (3)(3)(3) \)
\(\bf \quad \quad \therefore 3^2 + 6^2 = 45 = z(18 - z) \Rightarrow z^2 - 18z + 45 = 0 \Rightarrow (z - 3)(z - 15) = 0 \)

มองไม่ออกครับว่าจากบรรทัดบนมาบรรทัดล่างมันเกี่ยวข้องกันยังไง

[gon]

คือผมค่อนข้างมั่วนิดนึง เพราะยังนึกไม่ออกว่าจะคิดตรง ๆ แบบมีหลักการยังไง ที่เข้าใจคือ โจทย์พยายามจะบอกว่า ควรจะนำ (3, 3, 3) มาใช้

เมื่อจัดรูปเป็น x² + y² = z(xy - x) ... (1)
กับ 3² + 6² = 45 ... (2)

ตรงนี้ผมทึกทักเอาว่า (x, y) = (3, 6) ครับ. ดังนั้น xy = 18 ซึ่งเมื่อนำไปแทนใน (1) ทางด้านขวามือของ (1) กับ (2) จึงควรเท่ากัน ส่วนจะน้อยที่สุดหรือเปล่าอันนี้ อันนี้ยังหาเหตุผลไม่ได้ครับ.

[warut]

อ๋อ...เข้าใจแล้ว...ขอบคุณครับ โจทย์ข้อนี้ผมยังไม่ได้คิด แต่ลองใช้คอมพ์เช็คดูได้ผลว่า
(3, 6, 15) เป็นคำตอบที่เล็กที่สุดที่สอดคล้องกับเงื่อนไขโจทย์แน่นอนครับ

โจทย์ยุคนี้ยากจริงๆ...เฮ้อ

[gools]

ข้อ 17 ครับ
\[\begin{array}{rcl}\because\qquad AB^{2}-BC^{2} & = & BD^{2}-AB^{2}=BE^{2}-BD^{2} \\
\text{จะได้ว่า }\qquad AB^{2} & = & \frac{BC^{2}+BD^{2}}{2} \\
\text{และ }\qquad BD^{2} & = & \frac{AB^{2}+BE^{2}}{2} \\
\therefore\qquad\qquad\quad\ \ AB^{2} & = & \frac{\frac{BE^{2}+AB^{2}}{2}+BC^{2}}{2} \\
3AB^{2}-2BC^{2} & = & BE^{2} \\
\therefore\qquad BE^{2}-AB^{2} & = & 3AB^{2}-2BC^{2}-AB^{2} \\
&=& 2(AB^{2}-BC^{2}) \\
&=& 4
\end{array}
\]

[R-Tummykung de Lamar]

ข้อความเดิมของคุณ gools:
\[\begin{array}{rcl}\therefore\qquad BE^{2}-AB^{2} & = & 3AB^{2}-2BC^{2}-AB^{2} \\
&=& 2(AB^{2}-BC^{2}) \\
&=& 4
\end{array}
\]

[ 08 มีนาคม 2005 11:30: ข้อความนี้ถูกแก้ไขแล้ว 2 ครั้ง, ครั้งล่าสุดโดยคุณ gools ]

ตรงนี้ผิดนิดนึงครับ
\( \displaystyle{AB^2-BC^2} \) ได้ \( \ \ \ \)2^{2\( \ \ \)}\( \ \ \)=\( \ \ \)4 \( \ \ \ \)ครับ ดังนั้น\( \ \ \ \) \( \displaystyle{2(AB^2-BC^2)} \)\( \ \ \ \) ก็เท่ากับ 8 ครับ

[gools]

ขอบคุณที่บอกครับ
ช่วงนี้พลาดบ่อยเหลือเกิน

[R-Tummykung de Lamar]

ตั้งหัวข้อไว้ว่า เพชรยอดมงกุฎ ม.ต้น-ม.ปลาย'2547 แต่ยังไม่มี ม.ปลายเลยเนอะ ขุดมาต่ออีกดีกว่า
ข้อที่ 19 ครับ
กำหนด n เป็นจำนวนนับ g_n เป็น ห.ร.ม.ของ n²+111 กับ (a+3)² ถ้า m มีค่าน้อยที่สุด ที่ทำให้ g_m มีค่ามากที่สุด แล้ว
m + g_m มีค่าเท่าไร

[R-Tummykung de Lamar]

ข้อที่ 20 ครับ
ถ้า r เป็นจำนวนจริงที่ไม่เท่ากับ 0 และ \( \displaystyle{(r+\frac{1}{r})^2\ \ \ =\ \ \ 3\ \ \ \ \ } \) แล้ว จงหาค่าของ \(\displaystyle{r^3+\frac{1}{r^3}} \)

[R-Tummykung de Lamar]

ข้อที่ 21 ครับ
ถ้า p และ q เป็นจำนวนจริงที่ทำให้ x²+3x+5 เป็นตัวประอบของ x⁴+px²+q จงหา |p-q

[R-Tummykung de Lamar]

ข้อนี้ข้อสุดท้ายของ ม.ต้นแล้วครับ
ข้อที่ 22 ครับ
จากรูป วงกลมทุกรูปเป็นวงกลมที่มีรัศมี ยาวเท่ากับ r เหมือนกัน วางเรียงกัน โดยที่วงกลมที่อยู่ติดกันจะสัมผัสกัน ตงหาบริเวณทั้งหมด ที่ปิดล้อมด้วยวงกลมสามวง ในเจ็ดวงนี้

ปล. ปพนได้แชมป์ครับ

ได้ p=1
q=25
ค่าสัมบูรณ์ p - q = 24

[R-Tummykung de Lamar]

ๆ------------๖
็..ม.ปลาย..ฝ
่------------๘

ข้อที่ 1 ครับ
จงหาจำนวนเต็มบวก a ที่น้อยที่สุดซึ่งทำให้
392|(99²ⁿ⁺¹+aท97²ⁿ⁺¹) ทุกๆค่า n ที่เป็นจำนวนนับ