|
สมัครสมาชิก | คู่มือการใช้ | รายชื่อสมาชิก | ปฏิทิน | ข้อความวันนี้ | ค้นหา |
|
เครื่องมือของหัวข้อ | ค้นหาในหัวข้อนี้ |
#1
|
||||
|
||||
ปัญหาของการพิสูจน์อสมการ 2
คือตอนนี้มกำลังมึนๆกับพวกอสมการ Holder's, Chebychev's, Minkowski's, Power mean อ่ะครับ รบกวนช่วยสอนพวกเทคนิคการพิสูจน์ของอสมการพวกนี้หน่อยนะครับ
ขอข้อนี้ก่อนนะครับ กำหนดให้ $a,b\geqslant0$ จงพิสูจน์ว่า $$(a+b)(a^3+b^3)(a^7+b^7)\leqslant 4(a^{11}+b^{11})$$
__________________
เหนือฟ้ายังมีฟ้าแต่เหนือข้าต้องไม่มีใคร ปีกขี้ผื้งของปลอมงั้นสินะ ...โลกนี้โหดร้ายจริงๆ มันให้ความสุขกับเรา แล้วสุดท้าย มันก็เอาคืนไป... |
#2
|
|||
|
|||
Show that $(a+b)(a^3+b^3)\leq 2(a^4+b^4)$
and $(a^4+b^4)(a^7+b^7)\leq 2(a^{11}+b^{11})$ Chebychev inequality.
__________________
site:mathcenter.net คำค้น |
#3
|
|||
|
|||
Another Idea : Use Power Mean Inequality.
$a+b\leq ? (a^{11}+b^{11})^{?}$ $a^3+b^3\leq ? (a^{11}+b^{11})^{?}$ $a^7+b^7\leq ? (a^{11}+b^{11})^{?}$
__________________
site:mathcenter.net คำค้น |
#4
|
||||
|
||||
อ๋อ ขอบคุณมากเลยครับ
แล้วถ้าเป็นข้อนี้อ่ะครับ เอาแบบไม่ใช้โคชีอ่ะครับคิดไม่ออกอ่ะ กำหนดให้ $a,b,c\in \mathbb{R}^+$ จงพิสูจน์ว่า $$a+b+c\leqslant \frac{a^2+b^2}{2c}+\frac{b^2+c^2}{2b}+\frac{c^2+a^2}{2a}$$
__________________
เหนือฟ้ายังมีฟ้าแต่เหนือข้าต้องไม่มีใคร ปีกขี้ผื้งของปลอมงั้นสินะ ...โลกนี้โหดร้ายจริงๆ มันให้ความสุขกับเรา แล้วสุดท้าย มันก็เอาคืนไป... |
#5
|
|||
|
|||
Cauchy-Schwarz
__________________
site:mathcenter.net คำค้น |
#6
|
||||
|
||||
ขอแบบที่ไม่ใช่ Cauchy-Schwarz อ่ะครับเพราะอันนี้มันเป็นแบบฝึกหัดของ Chebychev อ่ะครับ
__________________
เหนือฟ้ายังมีฟ้าแต่เหนือข้าต้องไม่มีใคร ปีกขี้ผื้งของปลอมงั้นสินะ ...โลกนี้โหดร้ายจริงๆ มันให้ความสุขกับเรา แล้วสุดท้าย มันก็เอาคืนไป... |
#7
|
|||
|
|||
อ้างอิง:
$$a+b+c\leqslant \frac{a^2+b^2}{2c}+\frac{b^2+c^2}{2a}+\frac{c^2+a^2}{2b}$$
__________________
site:mathcenter.net คำค้น |
#8
|
|||
|
|||
WLOG, assume $a\leq b\leq c$. Then
$\dfrac{1}{c}\leq\dfrac{1}{b}\leq\dfrac{1}{a}$ and $a^2+b^2\leq a^2+c^2\leq b^2+c^2$. Apply Chebychev inequality to these sets of variables. Then use AM-HM or other methods to get the required inequality.
__________________
site:mathcenter.net คำค้น |
#9
|
||||
|
||||
จากที่พี่ nooonuii แนะมา ผมได้แบบนี้อ่ะครับ
$(\frac{1}{3}((b^2+c^2)+(a^2+c^2)+(a^2+b^2))(\frac{1}{3}(\frac{1}{2a}+\frac{1}{2b}+\frac{1}{2c}) \leqslant \frac{1}{3}(\frac{b^2+c^2}{2a}+\frac{a^2+c^2}{2b} \frac{a^2+b^2}{2c})$ $\Leftrightarrow \frac{1}{3}(a^2+b^2+c^2)(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c})\leqslant(\frac{b^2+c^2}{2a}+\frac{a^2+c^2}{2b} \frac{a^2+b^2}{2c}) $ แต่ผมคิดให้ $a+b+c \leqslant LHS$ ไม่ได้อ่ะครับช่วยแนะหน่อยครับ
__________________
เหนือฟ้ายังมีฟ้าแต่เหนือข้าต้องไม่มีใคร ปีกขี้ผื้งของปลอมงั้นสินะ ...โลกนี้โหดร้ายจริงๆ มันให้ความสุขกับเรา แล้วสุดท้าย มันก็เอาคืนไป... |
#10
|
|||
|
|||
Use
$\dfrac{1}{3}(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c})\geq \dfrac{3}{a+b+c}$ and $3(a^2+b^2+c^2)\geq (a+b+c)^2$
__________________
site:mathcenter.net คำค้น |
#11
|
||||
|
||||
อ๋อ ผมยังด้อยประสบการณ์อีกมากเลยนะครับเนี่ย ไว้มีสงสัยอีกจะมาถามนะครับ
__________________
เหนือฟ้ายังมีฟ้าแต่เหนือข้าต้องไม่มีใคร ปีกขี้ผื้งของปลอมงั้นสินะ ...โลกนี้โหดร้ายจริงๆ มันให้ความสุขกับเรา แล้วสุดท้าย มันก็เอาคืนไป... |
#12
|
||||
|
||||
ผมขอ Chebychev อีกข้อนะครับ ยังไม่คล่องพอเลย
ให้ $a,b,c\geqslant0$ จงพิสูจน์ว่า $$(ab+bc+ca)(a+b+c)^4\leqslant27(a^3+b^3+c^3)^2$$
__________________
เหนือฟ้ายังมีฟ้าแต่เหนือข้าต้องไม่มีใคร ปีกขี้ผื้งของปลอมงั้นสินะ ...โลกนี้โหดร้ายจริงๆ มันให้ความสุขกับเรา แล้วสุดท้าย มันก็เอาคืนไป... 03 ตุลาคม 2009 10:59 : ข้อความนี้ถูกแก้ไขแล้ว 1 ครั้ง, ครั้งล่าสุดโดยคุณ LightLucifer |
#13
|
|||
|
|||
ใช้ $ab+bc+ca\leq a^2+b^2+c^2$ ก่อนครับ
จากนั้นก็พิสูจน์สองอสมการคือ $(a+b+c)(a^2+b^2+c^2)\leq .....$ $(a+b+c)^3\leq .......$
__________________
site:mathcenter.net คำค้น |
#14
|
||||
|
||||
ขอบคุณมากเลยครับ ไว้สงสัยจะมาถามใหม่นะครับ ^^
__________________
เหนือฟ้ายังมีฟ้าแต่เหนือข้าต้องไม่มีใคร ปีกขี้ผื้งของปลอมงั้นสินะ ...โลกนี้โหดร้ายจริงๆ มันให้ความสุขกับเรา แล้วสุดท้าย มันก็เอาคืนไป... |
#15
|
||||
|
||||
ไหนๆคุณไลท์ก็ตั้งแล้วรบกวนคุณ nooonuii ช่วยคิดหน่อยครับ
จงแสดงว่า $n[(n+1)^{\frac{1}{n}}-1]\prec 1+\frac{1}{2}+.....+\frac{1}{n}\prec n-[(n-1)(n)^{-\frac{1}{n-1}}]$ เมื่อ n เป็นจำนวนเต็มบวกที่ มากกว่าหรือเท่ากับสอง ขอแบบภาษาไทยได้ไหมครับ
__________________
สัมหรับคณิตศาสตร์ ผมไม่มีแม้ซึ่งพรสวรรค์ไม่มีแม้โอกาสด้วยอยุ่ต่างจังหวัด จะมีก็แต่ความรักที่ทุ่มเท.... 03 ตุลาคม 2009 20:03 : ข้อความนี้ถูกแก้ไขแล้ว 2 ครั้ง, ครั้งล่าสุดโดยคุณ Jew |
|
|