จำนวนเชิงซ้อน

[Oriel]

$z$ เป็นจำนวนเชิงซ้อนที่ไม่เท่ากับศูนย์ซึ่ง $Re(z) + Im(z) = 0$ และ $z^9=z$ จงหาค่าของ $|z^{222}+1|$

[MiNd169]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ Oriel

$z$ เป็นจำนวนเชิงซ้อนที่ไม่เท่ากับศูนย์ซึ่ง $Re(z) + Im(z) = 0$ และ $z^9=z$ จงหาค่าของ $|z^{222}+1|$

Hint:
ลองกำหนด $z = a+bi$ ดูครับ
จะได้ว่า $a+b =0$
และจากสมการ
$\left|\,z^9\right|=\left|\,z\right|$
จะได้
$\left|\,z^8\right| =1$ (เพราะ $z$ไม่เท่ากับ$0$)

แล้วแก้ $a$ $b$ ออกมา
ถ้าไม่มีอะไรผิดน่าจะตอบ $\sqrt{2}$ ครับ

[Oriel]

ข้อนี้มีวิธีที่ไม่ใช้ Polar form (De Moivre's Formula) รึปล่าวครับ

[lek2554]

#Oriel

ตามที่น้อง MiNd169 แนะนำไว้ ก็ไม่ได้ใช้ Polar form ครับ

[Oriel]

แล้วตรง $z^{222}$ คำนวณอย่างไรครับ?

[lek2554]

$\left(\frac{1}{\sqrt{2} } -\frac{1}{\sqrt{2} }i\right) ^{222}=\left(\left(\frac{1}{\sqrt{2} } -\frac{1}{\sqrt{2} }i\right) ^2\right)^{111}=(-i)^{111}=i$