มาราธอนคณิตศาสตร์ ม.ต้น+ม.ปลาย

[Kirito]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ lnพwsะบุ๑sสุ๑xล่o

$tan2x=tan4\pi =0$
$arccot(0)=\frac{\pi }{2} , \frac{3\pi }{2} ,...$
$arc(tan-3x)=0$
$arccot(0)=\frac{\pi }{2} , \frac{3\pi }{2} ,...$

อย่างนี้หรอครับ

เหมือนจะต้องระวังขอบเขตของค่ามุมที่หามาได้หน่อยนะครับ ^^
$arccot x \in (0,\pi )$

[lnพwsะบุ๑sสุ๑xล่o]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ Kirito

เหมือนจะต้องระวังขอบเขตของค่ามุมที่หามาได้หน่อยนะครับ ^^
$arccot x \in [0,\pi ]$

จริงด้วยครับ ว่าอยู่ว่าแปลกๆ
แก้ไขละครับ ขอบคุณมากครับ

[Cachy-Schwarz]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ lek2554

ลองแทน $x=2\pi $ ดูครับ

$arccot(tan2x)+arccot(-tan3x)=x$

โดยที่ $x\in (0,2\pi )$

แบบนี้พอไหวมั้ยครับ

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ Kirito

เหมือนจะต้องระวังขอบเขตของค่ามุมที่หามาได้หน่อยนะครับ ^^
$arccot x \in [0,\pi ]$

ผมก็ไม่ค่อยเเน่ใจนะครับ

$arccot x \in (0,\pi)$ รึป่าวครับถ้าผิดก็ขออภัย

[Kirito]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ Cachy-Schwarz

$arccot x \in (0,\pi)$ รึป่าวครับถ้าผิดก็ขออภัย

ใช่ครับ ผมมั่วอีกแล้ว ขอบคุณครับ จะแก้ไขเดี๋ยวนี้เลยคับ

[lnพwsะบุ๑sสุ๑xล่o]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ Cachy-Schwarz

$arccot(tan2x)+arccot(-tan3x)=x$

โดยที่ $x\in (0,2\pi )$

แบบนี้พอไหวมั้ยครับ



ผมก็ไม่ค่อยเเน่ใจนะครับ

$arccot x \in (0,\pi)$ รึป่าวครับถ้าผิดก็ขออภัย

55 ผมก็งงอยู่ กระจ่างละครับ

[lnพwsะบุ๑sสุ๑xล่o]

มาต่อกันเลยครับ

5.ให้ f เป็นฟังก์ชันที่กำหนดโดย $f(x)=sin(\frac{[cosx]\pi }{2} )$

แล้ว

$\lim_{h \to 0} \frac{f(\pi +h)+f(\pi )}{\pi } $ เท่ากับเท่าไร

[lnพwsะบุ๑sสุ๑xล่o]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ Kirito

เห็นว่าช่วงนี้ใกล้สอบ มข. แล้วขอลองหยิบยกปัญหาของปีที่แล้วมาให้ลองแชร์ Idea กันคับ

ให้ $A=\bmatrix{1 & -1 \\ 2 & 4}$ และ $X$ เป็นเวกเตอร์ใน 2 มิติ ผลบวกจำนวนจริง $\lambda$ ทั้งหมด
ที่ทำให้ระบบสมการ $AX=\lambda X$ มีผลเฉลยที่ไม่เป็นเวกเตอร์ 0 เท่ากับเท่าใด

ให้ $X=\bmatrix{a \\ b} $
$AX=\bmatrix{a-b \\ 2a+4b} $
$\lambda A=\bmatrix{a\lambda \\ b\lambda } $

$AX=\lambda A ; \bmatrix{a-b \\ 2a+4b}=\bmatrix{a\lambda \\ b\lambda } $

ถ้าแก้สมการออกมาไม่ผิด ได้ $\lambda =\frac{6}{5} $

[จูกัดเหลียง]

5.ผมว่าน่าจะเป็น อันนี้ $\lim_{h\rightarrow 0}\dfrac{f(\pi+h)-f(\pi)}{h}$ ป่ะครับ

[nooonuii]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ lnพwsะบุ๑sสุ๑xล่o

ให้ $X=\bmatrix{a \\ b} $
$AX=\bmatrix{a-b \\ 2a+4b} $
$\lambda A=\bmatrix{a\lambda \\ b\lambda } $

$AX=\lambda A ; \bmatrix{a-b \\ 2a+4b}=\bmatrix{a\lambda \\ b\lambda } $

ถ้าแก้สมการออกมาไม่ผิด ได้ $\lambda =\frac{6}{5} $

$\lambda=2,3$ รึเปล่า

จริงๆแล้วมีสูตรนะ เห็นปุ๊บก็ตอบได้เลยว่า

??????????????????????????????????

$Tr(A)$

แต่ต้องใช้อย่างระมัดระวัง เพราะสูตรนี้รวมรากที่เป็นจำนวนเชิงซ้อนด้วย

แต่โจทย์ข้อนี้มีรากจำนวนจริงทั้งหมดจึงใช้ได้

[lnพwsะบุ๑sสุ๑xล่o]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ จูกัดเหลียง

5.ผมว่าน่าจะเป็น อันนี้ $\lim_{h\rightarrow 0}\dfrac{f(\pi+h)-f(\pi)}{h}$ ป่ะครับ

เป็นแบบในโจทย์แหละครับ

[~ArT_Ty~]

วงเล็บเหลี่ยมตรง $\cos$ หมายถึง floor function หรือเปล่าครับ??

[lnพwsะบุ๑sสุ๑xล่o]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ ~ArT_Ty~

วงเล็บเหลี่ยมตรง $\cos$ หมายถึง floor function หรือเปล่าครับ??

ไม่ใช่ครับ เป็นวงเล็บปกติครับ

[Thgx0312555]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ lnพwsะบุ๑sสุ๑xล่o

มาต่อกันเลยครับ

5.ให้ f เป็นฟังก์ชันที่กำหนดโดย $f(x)=sin(\frac{(cosx)\pi }{2} )$

แล้ว

$\lim_{h \to 0} \frac{f(\pi +h)+f(\pi )}{\pi } $ เท่ากับเท่าไร

ผมว่าโจทย์มันผิดนะ ถ้าโจทย์เป็นแบบเดิม เราจะได้
$\lim_{h \to 0} \frac{f(\pi +h)+f(\pi )}{\pi } =\frac{2f(\pi)}{\pi}=-\frac{2}{\pi}$

แต่ถ้าเปลี่ยนโจทย์ จะได้
$\lim_{h \to 0} \frac{f(\pi +h)-f(\pi )}{h}=f'(\pi)$

ซึ่ง $f'(x)=-\dfrac{\pi}{2}sinxcos(\frac{(cosx)\pi }{2})$
$f'(\pi)=0$

ขอต่อเลยนะครับ

6.
ให้ $A,B,C,U$ เป็นเซตซึ่ง $A,B,C \subset U$

กำหนดเงื่อนไขดังนี้

1. $10 \ | \ n(B), 10 \ | \ n(C)$
2. $n(U)=100$
3. $n(B)+n(C)-n(A)=30$
4. $n(B)^3+n(C)^3-n(A)^3=(n(B)+n(C)-n(A))n(U)$
5. $n(B \cap C)=30$
6. $n(C \cap A) - n(A \cap B) = 10$
7. $A,B,C$ เป็นเซตที่ทำให้ $n(A \cap B) + n(C \cap A)$ มีค่าน้อยที่สุด

จงหาค่าของ $n(A \cup B \cup C)$

[BLACK-Dragon]

::เห็นได้ชัดว่า $10|n(A)$ ให้ $10x = n(A)$ ในทำนองเดียวกันกับ $n(B),n(C)$ ในรูป $y,z$

ดังนั้น จะได้สมการ $y+z-x=3=y^3+z^3-x^3$

$(x+3)^3-3yz(3+x)-x^3=3$

จดรูปสมการไปเรื่อยจนได้ $x+3|8$ ได้ 2 ค่าคือ $x=1,5$ แต่เมื่อไปตรวจสอบ x ใช้ได้เพียงแค่ 5 เท่านั้น ทำให้ได้ $y=z=40$

ดังนั้น $n(A)=50,n(B)=n(C)=40$

ให้ $p,q,r$ แทน $n(A\cap B\cap C),n(A\cap B)-p,n(A\cap C)-p$ ตามลำดับ

จากข้อ 6 ทำให้ได้ว่า $r=q+10 \geq 10$

และหา $n(C)-n(C\cap A)-n(B\cap C)+n(A\cap B\cap C)=10-r \geq 0$

จะได้ $r=10$ ทำให้ได้

$n(A\cap B\cap C)=0, n(B\cap C)=30,n(C\cap A)=10,n(A\cap B)=0$

ดังนั้น $n(A\cup B \cup C )=90$

ปล. ผมไม่ได้ใช้ข้อสุดท้าย ไม่แน่ใจว่าถูกไหมนะครับ
ปล1. ข้อต่อไปทีผมลงใครมีวิธีเจ๋งๆก็แชร์หน่อยนะครับ
-------------------------------------------------------------

หา (x,y) ซึ่งสอดคล้องกับสมการ
$x^3+3x^2y=49$
$x^2+8xy+y^2=17x+8y$

[Thgx0312555]

ข้อที่แล้ว ถ้าโจทย์เป็นแบบนี้จะมีได้หลายคำตอบครับ
ผมเขียนเงื่อนไขข้อ 7 ผิด ขอโทษด้วยครับ แต่คำตอบที่คุณ Black-Dragon ตอบก็ถูกแล้วครับ

สำหรับข้อต่อไปเหมือนเคยเห็นใน my math problem collection แล้วนะครับ