ค่าย1 2554 suankularb

[LightLucifer]

ค่าย 1 ปีนี้โหดไปไหม =="
หรือปีที่แล้วเด็กได้เต็มเยอะเลยกดคะแนน T_T

ปล. #15 สวยงามๆ แต่เด็กในค่ายจะทำยังไงเมื่อเค้าไม่ได้ให้ใช้ Schur

[PP_nine]

อสมการปีที่แล้วก็ง่ายเกิน อย่างพิสูจน์ modified-cauchy หรือแม้แต่ $a^3+b^3 \ge ab(a+b)$ ก็ยังเป็นอะไรที่พื้นฐานซะมากๆ

ส่วนปีนี้ก็... อย่างที่ว่ากันล่ะครับ

[nooonuii]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ polsk133

ข้อ1ใหญ่ทำอย่างไรหรอครับ

ข้อนี้เป็นโจทย์มาตรฐานนะ ถ้าใครคลุกคลีอยู่กับที่นี่ก็ไม่น่าพลาด

สนุกกับอสมการ

[template]

Inequality
1.\[\sum_{cyc}\frac{a^3}{a^2+ab+b^2}=\frac{1}{2}\big(\sum_{cyc}\frac{a^3+b^3}{a^2+ab+b^2}+\sum_{cyc}\frac{a^3-b^3}{a^2+ab+b^2}\big)=\frac{1}{2}\big(\frac{1}{3}\sum_{cyc}\frac{(a+b)(3a^2-3ab+3b^2)}{a^2+ab+b^2}+\sum_{cyc}(a-b)\big)\]
\[\ge\frac{1}{2}\big(\frac{1}{3}\sum_{cyc}\frac{(a+b)(a^2+ab+b^2)}{a^2+ab+b^2}\big)=\frac{1}{6}\sum_{cyc}(a+b)=\frac{a+b+c}{3}\]
2.\[\sum_{cyc} \frac{1}{\sqrt{b+ \frac{1}{a}+ \frac{1}{2}}}=\sqrt{2}\sum_{cyc} \frac{a}{\sqrt{a}\sqrt{2ab+a+2}}\ge\sqrt{2}\sum_{cyc} \frac{a}{ \frac{1}{2}(a+2ab+a+2)}=\sqrt{2}\sum_{cyc} \frac{a}{ab+a+1}\]
\[=\sqrt{2}\big(\frac{a}{ab+a+1}+\frac{ab}{a(bc+b+1)}+\frac{abc}{ab(ca+c+1)}\big)=\sqrt{2}\big(\frac{a}{ab+a+1}+\frac{ab}{1+ab+a}+ \frac{1}{a+1+ab}\big)=\sqrt{2}\]

[polsk133]

คอมบิข้อ1,4,5ทำไงหรอครับ อสมการมันคนละเรื่องกับปีที่แล้วจริงๆ

[passer-by]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ polsk133

คอมบิข้อ1,4,5ทำไงหรอครับ

ข้อ 5 เป็น Tricky question ครับ

ให้แต้มลูกเต๋า n-1 ลูกแรกเป็นอะไรก็ได้ สมมติผลรวมเป็น $x$ แล้วให้แต้มลูกเต๋าลูกสุดท้าย $ \equiv -x \pmod 6 $ (ซึ่งเป็นไปได้วิธีเดียว) ดังนั้นจำนวนเหตุการณ์ คือ $6^{n-1}$

ส่วน sample space คงรู้กันอยู่แล้วว่าเป็นเท่าไหร่
-----------------------------------------------------------------------------------------
p.s. ปีนี้เปลี่ยนคนสอน สอวน. ศูนย์สวนกุหลาบหลายวิชา ทำให้แนวทางคำถามเปลี่ยนไปจากปีก่อนครับ

[LightLucifer]

เปลี่ยนครู เรขา กับ คอมบิครับ

แต่อสมการยังคนเดิม

ปล. คอมบิก็ยากขึ้นเหมือนกันนะเนี่ย =="

[template]

Inequality
3.\[\sum_{cyc}x^2+\sum_{cyc}xy\ge\sqrt{\sum_{cyc}x^4+2 \sum_{sym}x^3y+3\sum_{cyc}x^2y^2+4\sum_{cyc}x^2yz}\ge\sqrt{2 \sum_{sym}x^3y+4 \sum_{cyc}x^2y^2+4\sum_{cyc}x^2yz}=\sqrt{\sum_{cyc}2x\sum_{cyc}(xy^2+xz^2)}\]
\[\ge\sum_{cyc}\sqrt{2x(xy^2+xz^2)}=\sqrt{2}\sum_{cyc}x\sqrt{y^2+z^2}\]

[DARK SWORD]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ passer-by

Hint :
พิสูจน์ให้ได้ก่อนว่า m+1 และ n-2 อยู่ใน form $21k^2$ สำหรับบางจำนวนเต็ม k

แล้วจะหาm n ทั้งหมดได้ยังไงครับ

[passer-by]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ DARK SWORD

แล้วจะหาm n ทั้งหมดได้ยังไงครับ

ก็เหลือแต่แก้สมการ $ \frac{1}{x}+ \frac{1}{y} = 1 \Rightarrow (x-1)(y-1)=1$

โดย x,y เป็นจำนวนเต็มบวก

แล้วค่า m,n ก็จะตามมาเองครับ

[Beatmania]

ไม่มีใครทำเรขาคณิตเลยหรอครับ หรือว่ามันคงจะง่ายไปสำหรับคนในบอร์ดนี้

1. จะได้ $\frac{CA}{CB} =\frac{AE}{EB} $

ทำให้ $\frac{AE^2}{EB^2} =\frac{CA^2}{CB^2} $

พบว่า $\triangle CDB$ คล้ายกับ $\triangle ABC$ ทำให้

$\frac{BC}{AB} =\frac{BD}{BC} $ หรือ $BC^2 = AB\cdot BD$

ในทำนองเดียวกัน ได้ $AC^2 =AB\cdot AD$

$\frac{AC^2}{BC^2} =\frac{AB\cdot AD}{AB\cdot BD} =\frac{AD}{BD}$

$\frac{AE^2}{EB^2} =\frac{AD}{BD} $

$BD\cdot AE^2=AD\cdot BE^2$