Functional Equaltion

[Ne[S]zA]

Find all polynomials $p(x)$ such that for all $x$
$$(x-16)p(2x)16(x-1)p(x)$$

[nongtum]

Find all polynomials $p(x)$ such that for all $x$
$$(x-16)p(2x)=16(x-1)p(x)$$

รบกวนเหล่าเทพ FE ช่วยเช็คแนวคิดอีกรอบด้วยนะครับ

เพราะ 16 เป็นรากของ $p(x)$ ดังนั้น $p(x)=(x-16)q(x)$ ทำให้เมื่อ $x\ne 16$ จะได้ $8(x-1)q(x)=(x-8)q(2x)$
เพราะ 8 เป็นรากของ $q(x)$ ดังนั้น $q(x)=(x-8)r(x)$ ทำให้เมื่อ $x\ne 8$ จะได้ $4(x-1)r(x)=(x-4)r(2x)$
เพราะ 4 เป็นรากของ $r(x)$ ดังนั้น $r(x)=(x-4)s(x)$ ทำให้เมื่อ $x\ne 4$ จะได้ $2(x-1)s(x)=(x-2)s(2x)$
เพราะ 2 เป็นรากของ $s(x)$ ดังนั้น $s(x)=(x-2)t(x)$ ทำให้เมื่อ $x\ne 1,2$ จะได้ $t(x)=t(2x)$ นั่นคือ $t(x)\equiv C$ (a constant)

ดังนั้น $p(x)=C(x-16)(x-8)(x-4)(x-2)$

[nooonuii]

ได้เหมือนกันครับ แต่ว่าแทนค่ารวดเดียวไปเลยก็ได้ จะได้ไม่ต้องแยกกันหลายรอบ

$x=1\Rightarrow P(2)=0$

$x=2\Rightarrow P(4)=0$

$x=4\Rightarrow P(8)=0$

$x=8\Rightarrow P(16)=0$

ดังนั้น $P(x)=(x-2)(x-4)(x-8)(x-16)Q(x)$

แทนค่ากลับไปจะได้ $Q(2x)=Q(x)$

$x=1\Rightarrow Q(1)=Q(2)$

$x=2\Rightarrow Q(2)=Q(4)$

$x=4\Rightarrow Q(4)=Q(8)$

$\vdots$

$Q(2^n)=Q(1)$ ทุกจำนวนนับ $n$

โดยทฤษฎีบทหลักมูลพีชคณิต $Q(x)\equiv C$

[Ne[S]zA]

ขอบคุณครับ