ภาคตัดกรวย(Conics section)

[BLACK-Dragon]

1. ให้วงรีวงหนึ่งมี $\overline{AB} $ เป็นแกนเอก มีจุดศูนย์กลางอยู่ที่จุด O และ มีจุดโฟกัสจุดหนึ่งอยู่ที่จุด F,P เป็นจุด

บนวงรีและ $\overline{CD} $ เป็นคอร์ดผ่านจุด O ที่ขนานกับเส้นสัมผัสวงรีที่ P ให้ $\overline{PF}\cap \overline{CD} = Q $ จงแสดงว่า $PQ=OA$

[Suwiwat B]

ขอจัดไปเเบบเรขาคณิตวิเคราะห์สุดชีวิตกันไปเลยเเล้วกันนะครับ เนื่องจาก ... คิดออกเเค่เเบบนี้ เเต่มันเน้นพลังถึกมากเลยครับ
สมมติว่าวงรีมีสมการ $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$ กำหนดจุด $P(m,n)$ จะได้ว่า $m^2b^2+n^2a^2=a^2b^2$ หาอนุพันธ์กับสมการวงรีได้ $\frac{dy}{dx} = -\frac{x}{y}\frac{b^2}{a^2}$ ดังนั้นความชันของเส้นสัมผัส ณ จุด P = ความชัน CD = $-\frac{b^2}{a^2}\frac{m}{n}$ เเละได้สมการเส้น CD เป็น $y = -\frac{b^2}{a^2}\frac{m}{n}x ..... (1)$
ให้จุด F มีพิกัด $F(c,0)$ นั่นคือ $c^2 = a^2 - b^2$ หาสมการเส้น PF ได้เป็น
$y = \frac{n}{m-c}x - \frac{nc}{m-c} ..... (2)$
เเก้สมการ (1) เเละ (2) ซะ จะได้พิกัด $Q(\frac{a^2n^2c}{a^2b^2 - b^2mc},-\frac{mnc}{a^2-mc})$
ที่เหลือก็เเค่พิสูจน์ว่า $PQ = OA = a$ เเค่นั้นเองครับ ซึ่งใช้เนื้อที่ทดไปประมาณ 2 หน้วกระดาษเบาๆ เเต่ได้คำตอบเเน่นอนครับ

คิดว่ามีวิธีที่ดีกว่านี้ ตอนนี้ยังคิดไม่ออก

[~ArT_Ty~]

ดูตามรูปนะครับ

ให้ $F'$ เป็นโฟกัสอีกจุดของวงรีที่มีความยาวครึ่งแกนเอกเท่ากับ $a$ และให้ $PF' \cap CD={A}$

จาก Definition ของวงรีกับเส้นสัมผัสนะครับ จะได้ว่ามุมระหว่างเส้นตรงทั้งสองเส้นที่ลากมา

จากจุดโฟกัสแต่ละจุดมาถึงจุด $P$ จะทำมุมกับเส้นสัมผัสวงรี ณ จุดนั้นเท่ากันนะครับ

ส่งผลให้ $A \hat Q P = Q \hat A P\leftrightarrow PQ=PA$

จาก Menelaus จะได้ว่า $$\frac{FQ}{QP}\cdot \frac{PA}{AF'}\cdot\frac{F'O}{OF}=1$$

จะได้ว่า $FQ=AF$ $\therefore FP+PF' = 2a = QP+PA = 2PQ$

ดังนั้น $PQ=a$ Q.E.D.

[จูกัดเหลียง]

#3 Definiton ของวงรีกับเส้นสัมผัส คืออะไรอ่ะครับ จริงๆครับ
ปล.ที่จริงผมเดาว่า $\Delta PQA$ เป็นสามเหลี่ยมหน้าจั่วเหมือนกันครับ เเต่ผมพิสูจน์มุมเท่าไม่เป็นอ่ะเลยได้เเต่เดาต่อไป 555+

[~ArT_Ty~]

เคยอ่านเจอในเน็ตน่ะครับ แต่จำไม่ได้ว่าเว็บไหน ถ้าหาเจอจะเอามาให้ดูนะครับ

มีของทุกอย่างเลย ทั้งพาราโบลา วงรี ไฮเพอโบลา

[BLACK-Dragon]

ขอบคุณมากๆครับ