โจทย์วิธีเรียงสับเปลี่ยน ฝากช่วยคิดครับ

[Yo WMU]

มีชาย 2 คนและหญิง 3 คน นั่งบนเก้าอี้ยาวแถวเดียว 8 ตัว จงหาจำนวนวิธีในการนั่งที่แตกต่างกันทั้งหมดเมื่อ
1) ชายนั่งติดกัน และหญิงนั่งติดกัน
2) ไม่มีชายคนใดนั่งติดกัน
3) ชายนั่งสลับที่กับหญิง

ขอบคุณมากครับ

[Yo WMU]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ แฟร์

มีชาย 2 คนและหญิง 3 คน นั่งบนเก้าอี้ยาวแถวเดียว 8 ตัว จงหาจำนวนวิธีในการนั่งที่แตกต่างกันทั้งหมดเมื่อ

1) ชายนั่งติดกัน และหญิงนั่งติดกัน
ตอบ 19*2!*3! วิธี

2) ไม่มีชายคนใดนั่งติดกัน
ตอบ 21*2!*6*5*4 วิธี

3) ชายนั่งสลับที่กับหญิง
ตอบ 112*2!*3! วิธี

รบกวนขอคำอธิบายเพิ่มเติมได้ไหมครับ ที่มาของเลข 19, 21, 112 ในแต่ละข้อครับ

[gon]

มีชาย 2 คนและหญิง 3 คน นั่งบนเก้าอี้ยาวแถวเดียว 8 ตัว จงหาจำนวนวิธีในการนั่งที่แตกต่างกันทั้งหมดเมื่อ
1) ชายนั่งติดกัน และหญิงนั่งติดกัน
2) ไม่มีชายคนใดนั่งติดกัน
3) ชายนั่งสลับที่กับหญิง

my_solution

ในที่นี้จะคิดว่าเก้าอี้แต่ละตัวเป็นของที่เหมือนกัน

ข้อ 1. ชายนั่งติดกัน และหญิงนั่งติดกัน

นำแต่ละคนเอาก้นติดเก้าอี้ไว้ และมัดชายด้วยกัน หญิงด้วยกัน จะเหลือเก้าอี้ว่าง 3 ตัว จะเหมือนกับเรียงสับเปลี่ยน
(AB)(CDE)(F)(F)(F) เป็นเส้นตรง ซึ่งเรียงได้ $\frac{5!}{3!} \times 2! \times 3!$ วิธี

ข้อ 2. ไม่มีชายคนใดนั่งติดกัน

นำหญิง 3 คนคือ C, D, E กับเก้าอี้อีก 3 ตัว คือ F, F, F สลับที่เป็นเส้นตรงได้ $\frac{6!}{3!}$

จากนั้นจะมีช่องว่างทั้งหมด 7 ช่อง นำชายสองคนที่เหลือไปแทรกได้ $7 \times 6$ วิธี

สรุปได้ทั้งหมด $\frac{6!}{3!} \times 7 \times 6$ วิธี

ข้อ 3. ชายนั่งสลับที่กับหญิง

มีชาย 2 หญิง 3 คน สลับที่แบบชายหญิง จะต้องเป็นรูปแบบ ญ ช ญ ช ญ ซึ่งสลับได้ 2! 3! วิธี
_ญ_ช_ญ_ช_ญ_

ตอนนี้จะมีช่องว่าง 6 ช่อง เราจะต้องนำเก้าอี้ที่เหลืออีก 3 ตัว ไปวางแทรกในช่องว่างทั้งหก โดยแต่ละช่องอาจจะวาง 0 ตัวก็ได้

และเนื่องจากเก้าอี้เป็นของที่เหมือนกัน ดังนั้นจำนวนวิธีการวาง จะสมมูลกับจำนวนผลเฉลยทั้งหมดของสมการ

$x_1+x_2+x_3+x_4+x_5+x_6=3$ โดยที่ $x_i, i=1, ... , 6$ เป็นจำนวนเต็มที่ไม่เป็นลบ

ซึ่งมีผลเฉลยทั้งหมด $\binom{6+3-1}{6-1} = 8\times 7$

ดังนั้นจำนวนวิธีทั้งหมดเท่ากับ $2! \times 3! \times 8 \times 7$ วิธี