รบกวนแสดงวิธีคิดหน่อยครับ

[Mastermander]

$ xy+x+y=23 $
$ x^2+y^2-5(x+y)=8 $
จงหา $x-y$

Solution

ดูจากคุณ nongtum ข้างล่างนะครับ

ขอถามต่อนะครับว่าอสมการ $(\sin A-\frac{1}{\sqrt2})(\cos A+\frac{1}{2}) \geq 0$ มีหลักการแก้อย่างไรครับ

ขอบคุณทุกท่านครับ

[nongtum]

อีกวิธีนะครับ น่าจะเปลืองแรงน้อยกว่าหน่อย :p

สมมติให้ $a:=x+1,\ b:=y+1$
จาก $xy+x+y+1=(x+1)(y+1)=ab=24$
และ $(x+1)^2+(y+1)^2=10+7(x+y)\quad\Rightarrow\quad a^2+b^2=7(a+b)-4$
จะได้ว่า $(a+b)^2-7(a+b)-44=(a+b-11)(a+b+4)=0$
หาก $a+b=11$ จะได้ $(a-b)^2=(a+b)^2-4ab=25$ นั่นคือ $a-b=\pm5=x-y$
หาก $a+b=-4$ จะได้ $(a-b)^2=-80$ นั่นคือ $a-b=x-y=\pm4\sqrt{5}i$
หมายเหตุ: สังเกตว่าคำตอบของระบบสมการแต่ละชุด(หากแก้ออกมา)จะสลับลำดับกัน

[Mastermander]

จงหาจำนวนจริง $\theta$ ที่ทำให้
$$ \frac{\sin^2 3\theta}{\sin^2\theta}-\frac{\cos^2 3\theta}{\cos^2\theta} \leq 4\sqrt2 $$

[M@gpie]

ตอบคุณ Mastermander คำถามแรก คือก็ใช้หลักการแก้อสมการทั่วๆไปคับดังนี้
\( x\cdot y > 0 \rightarrow x>0 , y>0 \; \text{หรือ} \; x<0,y<0 \)
ดังนั้นอสมการ \( ( \sin A - \frac{1}{\sqrt{2}} )( \cos A + \frac{1}{\sqrt{2}} ) \geq 0 \)
ก็แยกคิด 2 กรณีคือ
\( 1. ( \sin A - \frac{1}{\sqrt{2}} ) \geq 0 \; \text{และ} \; ( \cos A + \frac{1}{\sqrt{2}} ) \geq 0 \)
\( 2. ( \sin A - \frac{1}{\sqrt{2}} ) \leq 0 \; \text{และ} \; ( \cos A + \frac{1}{\sqrt{2}} ) \leq 0 \)

ส่วนอีกข้อ จัดรูปนิดนึงคับโดยหาครน. และนำคูณไปอีกฝั่งได้ เนื่องจาก \( \sin^2 \theta \cos ^2 \theta \geq 0 \) เสมอ จะได้ว่า

\( \sin^2 3\theta \cos^2 \theta - \sin^2 \theta \cos^2 3\theta \leq 4\sqrt{2}\sin^2 \theta \cos ^2 \theta\)
จะได้ว่า \( \sin 2\theta \sin 4 \theta \leq \sqrt{2}\sin^2 2\theta\)
หรือ \( 2\sin^2 2\theta \cos 2\theta \leq \sqrt{2}\sin^2 2\theta\)
ย้ายข้างไปแล้วแยกตัวประกอบจะได้ \( \sin^2 \theta (2 \cos2\theta -\sqrt{2})\leq 0 \)
แล้วก็จัดการแก้แบบเดียวกับข้อแรกคับ

[Mastermander]

$(\sin A-\frac{1}{\sqrt2})(\cos A+\frac{1}{2}) \geq 0$

กรณีที่ 1

$(\sin A-\frac{1}{\sqrt2}) \geq 0$

$\sin A \geq \frac{1}{\sqrt2}$

$A = [\frac{\pi}{4},\frac{3\pi}{4}]$ ...(1)

$(\cos A+\frac{1}{2}) \geq 0$

$\cos A \geq -\frac{1}{2}$

$A = [0,\frac{2\pi}{3}]\cup[\frac{4\pi}{3},2\pi]$ ...(2)

$(1)\cap(2);A=[\frac{\pi}{4},\frac{2\pi}{3}]$

กรณีที่ 2

$(\sin A-\frac{1}{\sqrt2}) \leq 0$

$\sin A \leq \frac{1}{\sqrt2}$

$A=[0,\frac{\pi}{4}]\cup[\frac{3\pi}{4},2\pi]$ ...(3)

$(\cos A+\frac{1}{2}) \leq 0$

$\cos A\leq -\frac{1}{2}$

$A=[\frac{2\pi}{3},\frac{4\pi}{3}] ...(4)$

$(3)\cap(4);A=[\frac{3\pi}{4},\frac{4\pi}{3}]$

กรณีที่ 1 รวมกับ 2

$A = [\frac{\pi}{4},\frac{2\pi}{3}]\cup[\frac{3\pi}{4},\frac{4\pi}{3}]$

อย่างนี้ถูกหรือเปล่าครับ

[M@gpie]

ยังไม่ครบนะครับ คำตอบ ที่ได้ เป็นแค่ช่วงเดียว ต้องเพิ่มอีก \( 2n\pi \) ทุกช่วง เลยคับ
แล้วก็ต้องไม่รวมจุดที่ทำให้ \( \sin \theta = 0 \; \text{และ} \; \cos \theta = 0 \) ด้วยครับ
คือ เอาออกด้วย \( { \frac{n\pi}{2}} \) โดยที่ n เป็นจำนวนเต็มใดๆ

[nongtum]

ขอคร่าวๆนะครับ ไม่มีเวลาพิมพ์วิธีทำเต็มๆ

โดยใช้ $\sin 3\theta=3\sin\theta-4\sin^3\theta$ และ $\cos 3\theta=4\cos^3\theta-3\cos\theta$ แล้วจัดรูปเล็กน้อยให้อยู่ในรูป sin (หรือ cos) จัดรูปต่อไป ในที่สุดจะได้ $1-2\sin^2\theta=\cos 2\theta\le1/\sqrt2$ จากตรงนี้เราจะหาคำตอบได้ง่ายๆครับ อย่าลืมลบคำตอบที่ทำให้ sin หรือ cos เป็นศูนย์นะครับ

[Mastermander]

ข้อแรก

$ A=[\frac{\pi}{4}+2n\pi,\frac{2\pi}{3}+2n\pi]\cup[\frac{3\pi}{4}+2n\pi,\frac{4\pi}{3}+2n\pi]$

n = integer

[Mastermander]

$ x=\sqrt[3]{4 }+\sqrt[3]{2}+1 $
จงหาค่าของ $$ \bigg(1+\frac{1}{x}\bigg)^3 $$

Edit
คิดได้แล้วครับ ได้้ 2 ครับ

[nooonuii]

ข้อความเดิมของคุณ Mastermander:
$ x=\sqrt[3]{4 }+\sqrt[3]{2}+1 $
จงหาค่าของ $$ \bigg(1+\frac{1}{x}\bigg)^3 $$

\( \displaystyle{ (\sqrt[3]{ 2 }-1)x = (\sqrt[3]{ 2 })^3 - 1 = 1 \Rightarrow \frac{1}{x} = \sqrt[3]{ 2 } - 1 } \)