PMWC 2004 Individual(Po Leung Kuk)

[กิตติ]

PMWC 2004 Individual(Po Leung Kuk)
I15.แท็งค์น้ำรูปลูกบาศก์มีความยาวแต่ละด้านเท่ากับ 10 เมตร ภายในมีน้ำบรรจุอยู่ ถ้าจัดแท็งค์น้ำให้อยู่ในลักษณะตามรูป โดยเอามุมหนึ่งวางลงบนพื้นราบและแต่ละด้านนั้นทำมุมกับแนวราบ 45 องศา ระดับน้ำจะอยู่ที่ระดับA และถ้าเติมน้ำลงไปอีก 125 ลูกบาศก์เมตร จะทำให้น้ำเต็มถัง จงหาความยาวของAB

ข้อนี้ผมคิดได้ $5$

คิดปริมาตรที่ระดับ$B$ก่อน ปริมาตรที่ระดับ$B$=$10\times \frac{1}{2} \timesความสูง\times 10\sqrt{2} $
จากคุณสมบัติของเส้นทะแยงมุมของสี่เหลี่ยมจัตุรัสจะได้ว่า ความสูงนี้เท่ากับ$5\sqrt{2}$
ได้ปริมาตรที่ระดับ$B$คือ $500$ลูกบาศก์เมตร
ปริมาตรเดิมก่อนเติมน้ำคือ$1,000-125 =875$ลูกบาศก์เมตร

ให้ที่ระดับ$A$มีความยาวเท่ากับ$AD$=$a$ จากคุณสมบัติของเส้นทแยงมุมของสี่เหลี่ยมจัตุรัสที่ตัดกันและสามเหลี่ยม$ACD$มีความสูงเท่ากับ$h$
ปริมาตรส่วนที่เพิ่มเข้าไป$125$ลูกบาศก์เมตรเกิดในสามเหลี่ยม$ACD$จะได้ว่า$125=10\times \frac{1}{2} \times h\times a$... $a\times h =25$
จากมุม$B$=45 จะได้ว่า$\frac{a}{2}=h$ ดังนั้น$a=5\sqrt{2} $ และ$h=\frac{5\sqrt{2} }{2} $
ความสูงของระดับน้ำคือ$GF$ เท่ากับ$s$ =$5\sqrt{2}-\frac{5\sqrt{2} }{2} = \frac{5\sqrt{2} }{2}$
จากคุณสมบัติสามเหลี่ยมร่วมกันของ$\Delta BCF$ และ$\Delta ABI$ จะได้อัตราส่วนว่า$\frac{AB}{AI} =\frac{AB}{GF} =\frac{BC}{CF} $
$AB =GF\times \frac{BC}{CF} =\frac{5\sqrt{2} }{2} \times\frac{10}{5\sqrt{2} } =5$

[คนอยากเก่ง]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ กิตติ

จะได้ว่า$AC^2 =AB^2 + BC^2 =13^2$
พื้นที่ครึ่งวงกลมสามวงเท่ากับ $\frac{\pi\times ([\frac{AC^2}{4}]+[\frac{AB^2}{4}]+[\frac{BC^2}{4} ])}{2} $ =$\frac{\pi\times ([AC^2]+[AB^2]+[BC^2])}{8} $
=$\frac{\pi\times (AC^2)}{4} $ =$126.75$

จาก 2 -3 ab กับ bc หายไปไหนครับ

[กิตติ]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ กิตติ

จะได้ว่า$AC^2 =AB^2 + BC^2 =13^2$
พื้นที่ครึ่งวงกลมสามวงเท่ากับ $\frac{\pi\times ([\frac{AC^2}{4}]+[\frac{AB^2}{4}]+[\frac{BC^2}{4} ])}{2} $ =$\frac{\pi\times ([AC^2]+[AB^2]+[BC^2])}{8} $
=$\frac{\pi\times (AC^2)}{4} $ =$126.75$

เขียนข้ามไปหน่อย...เขียนเวอร์ชั่นยืดหน่อยแล้วกันครับ
$\frac{\pi\times ([\frac{AC^2}{4}]+[\frac{AB^2}{4}]+[\frac{BC^2}{4} ])}{2} $
=$\frac{\pi\times ([AC^2]+[AB^2]+[BC^2])}{8} $......แทนค่าของ$AB^2 + BC^2$ $=AC^2$
=$\frac{\pi\times ([AC^2]+[AC^2])}{8}$ = $\frac{\pi\times 2\times [AC^2]}{8}$
=$\frac{\pi\times (AC^2)}{4} $

โอเคไหมครับ...

[banker]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ กิตติ

PMWC 2004 Individual(Po Leung Kuk)
มีทั้งหมด 15 ข้อ...ขอแปลแต่ข้อที่ไม่มีภาพก่อนแล้วกันครับ



I3.มีตัวเลขสี่หลักอยู่สี่จำนวนที่แตกต่างกัน ถ้าผลบวกของจำนวนที่มากที่สุดและจำนวนที่น้อยที่สุดเท่ากับ $11359$ จงหาจำนวนที่น้อยที่สุด

A, B, C, D คือเลขสี่หลัก สี่จำนวน

โดย A มากที่สุด และ D น้อยที่สุด

A+D = 11359

A มากที่สุด และยังคงเป็นสี่หลักคือ 9999

D = 11359 - 9999 = 1360

จำนวนที่น้อยที่สุดเท่ากับ 1360

[banker]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ กิตติ

PMWC 2004 Individual(Po Leung Kuk)


I5.รถไฟวิ่งจากเมืองAไปยังเมืองB ถ้ารถไฟเร่งความเร็วขึ้นอีก 15 กิโลเมตรต่อชั่วโมง รถไฟจะถึงเมืองเร็วขึ้น 48 นาที ถ้ารถไฟวิ่งช้าลง 10 กิโลเมตรต่อชั่วโมง รถไฟจะถึงเมืองช้าลง 48 นาที จงหาระยะทางระหว่างเมืองAกับB

ระยะทางจากเมือง A ไปเมืองB = x กิโลเมตร

ความเร็วปกติ = y กิโลเมตรต่อชั่วโมง

จะได้สมการเวลาดังนี้

$\frac{x}{y+15} = \frac{x}{y} - \frac{48}{60}$ ....(1)

$\frac{x}{y-10} = \frac{x}{y} +\frac{48}{60}$ ....(2)

(1) + (2) $ \ \ \ \frac{x}{y+15} + \frac{x}{y-10} = \frac{2x}{y} $

$ \ \ \ \frac{1}{y+15} + \frac{1}{y-10} = \frac{2}{y} $

$y =60$

แทนค่า y ใน (1) $ \ \ \ x=240$

[banker]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ กิตติ

PMWC 2004 Individual(Po Leung Kuk)


I6.มีกล่องอยู่ทั้งหมด 5 กล่องโดยที่แต่ละกล่องมีน้ำหนักน้อยกว่า 100 กิโลกรัม เมื่อนำกล่องมาชั่งทีละสองกล่อง พบว่าได้น้ำหนักตามนี้ 113, 116, 110, 117, 112, 118, 114, 121, 120, 115 กิโลกรัม. อยากรู้ว่ากล่องที่หนักที่สุดหนักกี่กิโลกรัม

5 กล่องที่ว่าคือ a,b,c,d, และ e

a+b= 113
a+c= 116
a+d = 110
a+e= 117
b+c= 112
b+d= 118
b+e= 114
c+d= 121
c+e= 120
d+e= 115

จับมารวมกัน
4(a+b+c+d+e) = 1156

a+b+c+d+e = 289 .....(*)

(113)+(121) +e = 289

e = 55

แบบเดียวกันจะได้
d = 56, c=61, b=58 , a= 62

ตอบ กล่องที่หนักที่สุด หนัก 62 กิโลกรัม

[banker]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ กิตติ

PMWC 2004 Individual(Po Leung Kuk)

I7.จงหาจำนวนเต็มบวกที่น้อยที่สุดที่หารด้วย 5ลงตัวแต่หารด้วย 6,7หรือ8เหลือเศษ 1เหมือนกัน

จำนวนนั้นคือ N

ครน. ของ 6,7, 8 คือ 168

168x1 +1 = 169 หารด้วย 5 ไม่ลงตัว

168x2 +1 = 337 หาร 5 ไม่ลงตัว

168x3 +1 = 505 หาร 5 ลงตัว

ตอบ 505

[banker]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ กิตติ

PMWC 2004 Individual(Po Leung Kuk)


I9.มีจำนวนนับสองหลักกี่จำนวนที่นำไปหาร 2004 แล้วเหลือเศษ 9

จำนวนสองหลักหาร 2004-9 = 1995 ลงตัว

ตัวประกอบของ 1995 คือ 3x5x7x19

ตัวประกอบที่เป็นเลขสองหลักคือ 19, 15, 21, 57, 35, 95

[banker]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ กิตติ

PMWC 2004 Individual(Po Leung Kuk)
ปิดท้ายด้วยข้อ I4...เอามาท้ายสุดเพราะว่าอ่านแล้วแปลไม่ออก55555

I4.นำตัวเลข1ถึง9 มาจัดเรียงลงในวงกลมที่เรียงกัน 9 วงโดยไม่ใช้ตัวเลขซ้ำกัน เพื่อสร้างจำนวนเก้าหลักโดยมีข้อกำหนดว่า
ผลรวมของตัวเลขที่อยู่ระหว่างตัวเลข 1 กับ 2 นั้นเท่ากับ 6
ผลรวมของตัวเลขที่อยู่ระหว่างตัวเลข 2 กับ 3 นั้นเท่ากับ 14
ผลรวมของตัวเลขที่อยู่ระหว่างตัวเลข 3 กับ 4 นั้นเท่ากับ 38
ผลรวมของตัวเลขที่อยู่ระหว่างตัวเลข 4 กับ 5 นั้นเท่ากับ 9
จงหาว่าจำนวนเก้าหลักที่มีค่าน้อยที่สุดคือจำนวนใด

พิจารณา
ผลรวมของตัวเลขที่อยู่ระหว่างตัวเลข 1 กับ 2 นั้นเท่ากับ 6 <-- แสดงว่าเลข 1 กับเลข 2 อยู่ไม่ห่างกันนัก
ผลรวมของตัวเลขที่อยู่ระหว่างตัวเลข 2 กับ 3 นั้นเท่ากับ 14 <-- แสดงว่าเลข 2 กับเลข 3 อยู่ไม่ห่างกันนัก อาจห่างกันไม่กี่ตัว
ผลรวมของตัวเลขที่อยู่ระหว่างตัวเลข 3 กับ 4 นั้นเท่ากับ 38 <-- แสดงว่าเลข 3 กับเลข 4 อยู่ห่างกันมากๆ ต้องใช้หลายๆตัวรวมกัน
ผลรวมของตัวเลขที่อยู่ระหว่างตัวเลข 4 กับ 5 นั้นเท่ากับ 9 <-- แสดงว่าเลข 4 กับเลข 5 อยู่ไม่ห่างกันนัก อาจใกล้ๆกันก็ได้

เรามาพิจารณา ผลรวมของตัวเลขที่อยู่ระหว่างตัวเลข 3 กับ 4 นั้นเท่ากับ 38

เนื่องจาก ผลรวม 1 ถึง 9 มีแค่ 45

มีผลรวมที่เป็น 38 ได้ (ตัด 3 กับ 4 ออก ซึ่งรวมกันเท่ากับ 7) คือ 1+2+5+6+7+8+9 = 38 พอดี

นั้นแปลว่า 3 กับ 4 อยู่คนละซีกโลก
จึงได้ตำแหน่ง 3 กับ 4 ดังนี้ (เขาต้องการเลขน้อย 3 จึงนำหน้า)



พิจารณา ผลรวมของตัวเลขที่อยู่ระหว่างตัวเลข 2 กับ 3 นั้นเท่ากับ 14
สองตัวรวมกัน มีที่เป็นไปได้คือ 9+5 กับ 6+8
9+5 ไม่น่าใช้ได้ เนื่องจาก 5 จะอยู่ห่าง 4 มาก
ถ้าใช้ 6+8 จะได้

ถ้าแบบนี้ จะไม่มีตัวเลขใส่ระหว่าง 1 กับ 2

เปลี่ยนเป็นแบบ 3 ตัวรวมกันได้ 14 จะมี 1+9+5, 2+7+5

เดี๋ยวมาต่อครับ

หลังจากกลับไปพิจารณาแล้ว พบว่า ตำแหน่ง 5 กับ 2 ควรอยู่แบบรูปข้างล่างนี้



และเมื่อลองใส่ตัวเลข พบว่า ระหว่าง 5 กับ 4 ไม่สามารถแยกเป็น 2 จำนวนได้ จึงเหลือเลข 9 จำนวนเดียวคือ




ระหว่าง 3 กับ 2 สามารถแยกเป็น 3 จำนวนได้คือ 7+1+6


6 ต้องอยู่หลัง 1 เพื่อให้ผลรวมระหว่าง 1 กับ 2 เป็น 6


จะเหลือ 8 ซึ่งเป็นตัวโจ๊ก ฟรี ไม่มีเงื่อนไข


จำนวน 9 หลักนั้นคือ 371628594

[banker]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ กิตติ

PMWC 2004 Individual(Po Leung Kuk)

I10.มีลูกบาศก์ที่มีความยาวด้านละ 8 เซนติเมตร และทาสีส้มทุกด้านของลูกบาศก์ เมื่อตัดลูกบาศก์นี้ออกเป็นลูกบาศก์เล็กๆที่มีควมยาวแต่ละด้าน 1 เซนติเมตร จงหาว่ามีลูกบาศก์เล็กทั้งหมดกี่ลูกที่มีสีส้มอยู่สองด้าน

ลูกที่มีสีสองหน้าคือด้านสัน สันละ 6 ลูก

มี 12 สัน ก็เท่ากับ 6x 12 = 72 ลูก

[banker]

I12.ถ้ามีจำนวนนับสองหลัก คือAB นำมาคูณกับจำนวนนับที่ได้จากการสลับหลักกัน คือBA แล้วได้ผลลัพธ์เป็นกำลังสองสมบูรณ์ จงหาผลรวมของจำนวนทั้งหมดนี้(สมมุติคือ จำนวน12 คูณกับ 21....ตัวอย่างเท่านั้น)

จำนวนนับที่มีคุณสมบัติดังกล่าวคือ

11x11
22x22
.
.
.
99x99

จำนวนทั้งหมดคือ 2 x (11+22+.....99) = 2x495 = 990

[banker]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ กิตติ

PMWC 2004 Individual(Po Leung Kuk)

I14.กำหนดให้ $1^2+2^2+3^2+...+n^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$
จงหาค่าของ$1^2+3^2+5^2+7^2+9^2+11^2+...+99^2$

เพราะว่า

$2^2+4^2+6^2+.....100^2 $

$=4+16+36+...10000$

$=4(1+4+9+....2500)$

$= 4(1^2+2^2+3^2+...+50^2)$

$=4( \frac{50(50+1)(2\times 50+1)}{6})$

$=17\times 100\times 101$ .....(*)



$1^2+2^2+3^2+...+100^2 = \frac{100(100+1)(2\times 100+1)}{6}$

$= 50\times101\times67$ ...(**)



$(1^2+3^2+5^2+7^2+9^2+11^2+...+99^2) = (1^2+2^2+3^2+...+100^2) -(2^2+4^2+6^2+.....100^2) $

$=( 50\times101\times67) -(17\times 100\times 101) $

$= 101\times 50(67-2\times 17)$

$=101\times 50\times 33$

$=166,650$

[banker]

I13.ถ้านำจำนวนเต็ม1,2,3,4,5,6 และ 7 มาสร้างเป็นจำนวนนับที่น้อยกว่า 6000 โดยไม่ใช้เลขซ้ำกัน จะมีจำนวนนับเลขคู่ที่เกิดขึ้นทั้งหมดกี่จำนวน

จำนวนคู่ คือตัวที่ลงท้ายด้วย 2, 4, 6

กรณีลงท้ายด้วย 2
หลักหน่วยมี1 วิธี (คือ2)
หลักพันมี 4 วิธี (คือ 1,3,4,5)
หลักร้อย มี 5 วิธี (จาก7 เลือกไป2แล้ว )
หลักสิบ มี 4วิธี (เหลือจากหลักร้อย)

รวมมี 1x4x5x4 =80 วิธี

กรณีลงท้ายด้วย 4 ก็แบบเดียวกัน ได้ 80 วิธี


กรณีลงท้ายด้วย 6

หลักหน่วยมี1 วิธี (คือ6)
หลักพันมี 5 วิธี (คือ 1, 2, 3,4,5)
หลักร้อย มี 5 วิธี (จาก7 เลือกไป2แล้ว )
หลักสิบ มี 4วิธี (เหลือจากหลักร้อย)

รวม 1x5x5x4 = 100 วิธี

รวม 3 แบบได้ 80+80+100 = 260 จำนวน

[กิตติ]

PMWC 2004 Individual(Po Leung Kuk)
I15.แท็งค์น้ำรูปลูกบาศก์มีความยาวแต่ละด้านเท่ากับ 10 เมตร ภายในมีน้ำบรรจุอยู่ ถ้าจัดแท็งค์น้ำให้อยู่ในลักษณะตามรูป โดยเอามุมหนึ่งวางลงบนพื้นราบและแต่ละด้านนั้นทำมุมกับแนวราบ 45 องศา ระดับน้ำจะอยู่ที่ระดับA และถ้าเติมน้ำลงไปอีก 125 ลูกบาศก์เมตร จะทำให้น้ำเต็มถัง จงหาความยาวของAB

ข้อ15....วิธีแก้โจทย์อย่างง่าย ไม่เกินห้าบรรทัดออกเหมือนกัน ไม่ต้องเทียบสามเหลี่ยม
ขอดัดแปลงรูปอีกนิดเดียว


สามเหลี่ยม$BCD$เป็นสามเหลี่ยมหน้าจั่วที่มีมุมบนเท่ากับ90องศา...เพราะมีด้านเท่ากันสองด้านคือ$CD$และ$BD$ เช่นเดียวกับสามเหลี่ยม$ADE$ก็เป็นสามเหลี่ยมหน้าจั่วเช่นกัน พื้นที่สามเหลี่ยม$ADE$เท่ากับ 125 ลูกบาศก์เมตร
$12.5 = \frac{1}{2} \times AD \times AE$........$AD=DE$
$AD=5$.....จะได้ว่า$AB=5$ เพราะ$BD=AB+AD$

[Siren-Of-Step]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ กิตติ

ข้อ15....วิธีแก้โจทย์อย่างง่าย ไม่เกินห้าบรรทัดออกเหมือนกัน ไม่ต้องเทียบสามเหลี่ยม
ขอดัดแปลงรูปอีกนิดเดียว


สามเหลี่ยม$BCD$เป็นสามเหลี่ยมหน้าจั่วที่มีมุมบนเท่ากับ90องศา...เพราะมีด้านเท่ากันสองด้านคือ$CD$และ$BD$ เช่นเดียวกับสามเหลี่ยม$ADE$ก็เป็นสามเหลี่ยมหน้าจั่วเช่นกัน พื้นที่สามเหลี่ยม$ADE$เท่ากับ 125 ลูกบาศก์เมตร
$12.5 = \frac{1}{2} \times AD \times AE$........$AD=DE$
$AD=5$.....จะได้ว่า$AB=5$ เพราะ$BD=AB+AD$

ขอเสนอแนวคิดข้อนี้ นะครับ
ยืมรูปหน่อยละกัน

ปริมาตร $= 10^3 = 1000$

จุด $B = \frac{10\times 10\times10}{2} = 500 m^3$
ปริมาตรจุด $B-A = 375 m^3$

ปริมาตร $ADE = 125 = \frac{10x^2}{2}$
$x^2 = 25$
$x = \pm 5$
$x= 5$

$\therefore AD = AB = 5 m$