Functional Analysis

[mercedesbenz]

รบกวนถามโจทย์เกี่ยวกับเรื่อง ตัวดำเนินการเชิงเส้นและฟังก์ชันนัลบนปริภูมิมิติจำกัดหน่อยนะครับ
ให้ $Z$ เป็นปริภูมิย่อยแท้ของปริภูมิเวกเตอร์ $n$ มิติ $X$ และให้ $x_{0}\in X-Z$ จงแสดงว่าจะมีฟังชันนัล
เชิงเส้น $f$ บน $X$ โดยที่ $f(x_{0})=1$ และ $f(x)=0$ สำหรับทุก $x\in Z$
ผมไม่ค่อยเข้าใจเรื่องนี้เท่าไหร่เลยครับ ยังงงๆอยู่ เพิ่งสอบมิดเทอมเสร็จเรียนเนื้อหาใหม่แล้วเป็นเบลอๆ

[nooonuii]

Let $\{z_1,...,z_m\}$ be a basis of $Z$. It is not hard to see that $\{z_1,...,z_m,x_0\}$ is a linearly independent set. Thus we can extend this set to a basis of $X$, say $B$. Define a function $$f:X\to\mathbb{R}$$ by $f(b)=0$ for all $b\in B-\{x_0\}$ and $f(x_0)=1$ and then extend $f$ to be a linear functional by defining $$f(\sum_{b\in B} c_b\cdot b)=\sum_{b\in B}c_b\cdot f(b).$$

[mercedesbenz]

ขอบคุณมากๆครับพี่ nooonuii

[M@gpie]

ถ้า $X$ เป็นปริภูมิมิติอนันต์ก็ยังคงเป็นจริงนะครับ โดยเพิ่มเงื่อนไข $Z$ closed และใช้ Hahn-Banach Theorem

[putmusic]

อ่านแล้วงงนิดๆครับ เหอๆ