ลำดับเรขา

[Pakpoom]

1.ให้ a1,a2,a3,...a9 เป็นลำดับเรขาคณิต ซึ่งมีผลบวกของ 3 พจน์สุดท้ายมีค่าเป็น 1,000 เท่าของผลบวกของ 3 พจน์แรก และพจน์ที่ 3 มีค่าเท่ากับ 30 ค่าของพจน์ที่ 7 เท่ากับอะไร


2.จงหาค่า k ที่ทำให้สมการ $x^3-6x^2+kx+64=0$ มีรากสมการเรียงกันแบบลำดับเรขาคณิต


คิดไม่ออกจริงๆครับ

[Euler-Fermat]

1. $a_1,a_2,a_3,...,a_9$ เป็นลำดับเราขาคณิต
จาก โจทย์ $1000(a_1+a_2+a_3 = a_7+a_8+a_9.........(1)$
จาก (1) ได้ $1000a_1(1+r+r^2) = a_1r^6(1+r+r^2)$
$r^6 =1,000$
ดังนั้น พจน์ที่ 7 :$a_7 =a_3r^4 =30(100) = 3000$

2.ให้รากของ สมการ คือ $a,b,c$
จาก viete's formula
$a+b+c =6........(1)$
$ab+bc+ca =k......(2)$
$abc = -64........(3)$
แต่ $a,b,c$ เป็นลำดับเรขา
จาก $(3)ได้ a^3r^3 = -64$
$ar = -4...........(4)$
จาก $(1) $ ได้ $a(1+r+r^2) = 6 .....(5)$
จาก $(4),(5) $ ได้ $r= -\frac{1}{2} , -2$
จะได้ ค่า$ a,b,c = 8,-4 ,2 เพราะ(r ทั้งสองให้ a,b,c เป็นค่าที่สมมูลกัน)$
ดังนั้นจาก $(2)ได้ k=8(-4)+8(2)+(-4)(2) = -32+16-8 = -24$

[Pakpoom]

ข้อ 2 มีวิธีอื่นไหมครับ อ่านแล้ว ตาลาย

[Euler-Fermat]

มันต้องใช้ viete's formula หรือ ความสัมพันธ์ของรากและสัมประสิทธิ์ อะครับ
ถึงจะแก้ได้ ถ้าวิีธีอื่นผม ก้ยังคิดไม่ออกอ่ะครับ

[polsk133]

มองเป็น a/r,a,arจะง่ายตรงabcจะตัดกันสบายๆ

[กิตติ]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ Euler-Fermat

2.ให้รากของ สมการ คือ $a,b,c$
จาก viete's formula
$a+b+c =6........(1)$
$ab+bc+ca =k......(2)$
$abc = -64........(3)$
แต่ $a,b,c$ เป็นลำดับเรขา
จาก $(3)ได้ a^3r^3 = -64$
$ar = -4...........(4)$
จาก $(1) $ ได้ $a(1+r+r^2) = 6 .....(5)$
จาก $(4),(5) $ ได้ $r= -\frac{1}{2} , -2$
จะได้ ค่า$ a,b,c = 8,-4 ,2 เพราะ(r ทั้งสองให้ a,b,c เป็นค่าที่สมมูลกัน)$
ดังนั้นจาก $(2)ได้ k=8(-4)+8(2)+(-4)(2) = -32+16-8 = -24$

$ab+ac+bc=\frac{(a+b+c)^2-(a^2+b^2+c^2)}{2} $
$a^2+b^2+c^2=a^2(1+r^2+r^4)$
$a(1+r+r^2)=6 \rightarrow a^2(1+r+r^2)^2=36$
$a^2\left\{\,(1+r^2+r^4)+2(r+r^2+r^3)\right\} =36$
$a^2(1+r^2+r^4)=36-2(ar)a(1+r+r^2)$
$=36-12ar$

$ab+ac+bc=\frac{(a+b+c)^2-(a^2+b^2+c^2)}{2}=\frac{36-\left\{\,36-12ar\right\} }{2} $
$k=6ar \rightarrow k=-24$