โจทย์ Linear Algebra (ภาษาอังกฤษ) แปลแล้วงง ๆ ช่วยหน่อยครับ

[MathNewbie]

Let V be the real vector space of all real 2 x 3 matrices, and let W be the real vector space of all real 4 x 1 column vectors. If T is a linear transformation from V onto W, what is the dimension of the subspace {$ \upsilon \, \epsilon \, V : T(\upsilon) = 0 $} ?

(A) 2
(B) 3
(C) 4
(D) 5
(E) 6

งงตรงที่ผมขีดเส้นใต้ไว้อะคับ,, เข้าใจว่าโจทย์ข้อนี้ต้องใช้เรื่อง rank plus nullity theorem, ไปอ่านที่เค้าเฉลยมาอยู่ดีๆก็บอกว่า "dimension ของ V คือ 2*3 = 6" ก็งง ไม่เข้าใจว่าทำไมต้องเอามา คูณ กัน

[kongp]

น่าจะสเปสของ υ มากกว่าที่โจทย์ถาม ซึ่งเป็นซับสเปสของ V อีกที ในที่นี้คือ 6 คือจำนวนสมาชิกของ υ เท่านั้นเอง เค้าไม่อ้างทฤษฏีใดๆ คงเพราะ มองเป็นการคำนวนเชิงคณิตศาสตร์ ที่ไม่ส่อถึงวิชาอื่นๆ

[MathNewbie]

ข้อนี้เฉลยคือ (A)2
อะครับ เป็นโจทย์ practice ของ GREMath งงมากเลย
ลองดูอันนี้นะครับ เป็นเฉลยแบบละเอียดแต่ก็ยังงง ใคร่วยอธิบายได้มั่งมั๊ยครับ
http://sfmathgre.blogspot.com/2010_05_09_archive.html

[passer-by]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ MathNewbie

ข้อนี้เฉลยคือ (A)2
อะครับ เป็นโจทย์ practice ของ GREMath งงมากเลย
ลองดูอันนี้นะครับ เป็นเฉลยแบบละเอียดแต่ก็ยังงง ใคร่วยอธิบายได้มั่งมั๊ยครับ
http://sfmathgre.blogspot.com/2010_05_09_archive.html

โจทย์ให้ real vector spaces มา 2 อัน โดยต่างก็เป็น matrix space ซึ่ง matrix ของ V มีขนาด 2x3 ส่วนของ W มีขนาด 4x1

จากนั้นก็สมมติว่ามี linear mapping จาก V ไป W ที่ onto (surjective map) ซึ่งก็ imply ได้ว่า Im(T) = W

แล้วก็ถามหา dimension ของ Ker(T)

นี่คือใจความของโจทย์ครับ

ดังนั้นก็ใช้ rank plus nullity theorem ตรงๆก็จบครับ โดย dim(Ker T) = dim V - dim(Im T) = dim V - dim(W) = 6-4 =2

Note : ถ้าจะถามว่า ทำไม dim V = 6 ก็ให้ลองนึกถึง basis ของ V ครับ ตัวอย่างที่ obvious ที่สุดคือ เซตของ matrices ขนาด 2x3 จำนวน 6 เมตริกซ์ต่างกัน โดย แต่ละ matrix มี 1 ตัวเดียว ที่เหลือเป็น 0 หมด รับประกันว่าเซตนี้ span V และ linear independent ตรงตามนิยามเป๊ะๆครับ
-------------------------------------------------------------------------------

p.s. เตรียมสอบ GRE maths subject test สงสัยจะไปต่อโท-เอกต่างประเทศแน่ๆเลย ขอแสดงความยินดีล่วงหน้าครับ

[MathNewbie]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ passer-by

โจทย์ให้ real vector spaces มา 2 อัน โดยต่างก็เป็น matrix space ซึ่ง matrix ของ V มีขนาด 2x3 ส่วนของ W มีขนาด 4x1

จากนั้นก็สมมติว่ามี linear mapping จาก V ไป W ที่ onto (surjective map) ซึ่งก็ imply ได้ว่า Im(T) = W

แล้วก็ถามหา dimension ของ Ker(T)

นี่คือใจความของโจทย์ครับ

ดังนั้นก็ใช้ rank plus nullity theorem ตรงๆก็จบครับ โดย dim(Ker T) = dim V - dim(Im T) = dim V - dim(W) = 6-4 =2

Note : ถ้าจะถามว่า ทำไม dim V = 6 ก็ให้ลองนึกถึง basis ของ V ครับ ตัวอย่างที่ obvious ที่สุดคือ เซตของ matrices ขนาด 2x3 จำนวน 6 เมตริกซ์ต่างกัน โดย แต่ละ matrix มี 1 ตัวเดียว ที่เหลือเป็น 0 หมด รับประกันว่าเซตนี้ span V และ linear independent ตรงตามนิยามเป๊ะๆครับ
-------------------------------------------------------------------------------

p.s. เตรียมสอบ GRE maths subject test สงสัยจะไปต่อโท-เอกต่างประเทศแน่ๆเลย ขอแสดงความยินดีล่วงหน้าครับ

ผมเข้าใจว่าแบบนี้ ถูกรึเปล่าครับ

$V = Span \Bigg( \left[\matrix{1&0&0\\0&0&0}\right],\left[\matrix{0&1&0\\0&0&0}\right],\left[\matrix{0&0&1\\0&0&0}\right],\left[\matrix{0&0&0\\1&0&0}\right],\left[\matrix{0&0&0\\0&1&0}\right],\left[\matrix{0&0&0\\0&0&1}\right] \Bigg)$

$W= Span \Bigg($[$\matrix{1\\0\\0\\0}$],[$\matrix{0\\1\\0\\0}$],[$\matrix{0\\0\\1\\0}$],[$\matrix{0\\0\\0\\1}$] $\Bigg)$

ขอบคุณล่วงหน้าครับ

[passer-by]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ MathNewbie

ผมเข้าใจว่าแบบนี้ ถูกรึเปล่าครับ

$V = Span \Bigg( \left[\matrix{1&0&0\\0&0&0}\right],\left[\matrix{0&1&0\\0&0&0}\right],\left[\matrix{0&0&1\\0&0&0}\right],\left[\matrix{0&0&0\\1&0&0}\right],\left[\matrix{0&0&0\\0&1&0}\right],\left[\matrix{0&0&0\\0&0&1}\right] \Bigg)$

$W= Span \Bigg($[$\matrix{1\\0\\0\\0}$],[$\matrix{0\\1\\0\\0}$],[$\matrix{0\\0\\1\\0}$],[$\matrix{0\\0\\0\\1}$] $\Bigg)$

ขอบคุณล่วงหน้าครับ

ถูกครับ

Note :ที่ผมยกตัวอย่างนั้นเป็นแค่ basis หนึ่งของ V,W ที่เห็นชัดเจนที่สุดครับ

[kongp]

อ้อ นึกว่าเทียบระหว่างเวกเตอร์ หากเทียบกับระนาบคาร์ทิเชียนก็โปรเจคเงาลงที่เดียวกัน ตอบ 6 ถูกกว่าครับ เผื่อไว้มากๆ ดีกว่า คำตอบในเวปที่มีโจทย์บางทีก็ไม่แน่ว่าจะเอาไปใช้ได้จริงๆ แต่ ค่า 0 ก็ถือว่าเป็น Null รอรับค่า Stand By ตอบ 6 ชัวร์กว่า ตรงนี้งงครับโจทย์แบบนี้ ต้องอ่าน Comment เค้าครับ

http://sfmathgre.blogspot.com/2010/0....html#comments

[kongp]

อยากทราบเหมือนกันว่าโจทย์ข้อนี้หากอยากทราบจำนวนคำตอบ(สมาชิกในเมตริกส์ลัพท์)ใช้วิชา Combinatorics อธิบายได้ไหม อย่างไร ?

ส่วนตัวว่าน่าจะเป็นอีกวิธีหนึ่งที่ยืนยันคำตอบที่ให้น่าเชื่อถือมากขึ้น ว่าตอบตอบไหนถูกที่สุดด้วย

[kongp]

ในเมืองไทยมีคนที่รู้คำตอบในหนังสือคณิตศาสตร์ทั้งหมดที่มีอยู่ทุกเล่มทุกบทในไทยอยู่ แต่เท่าที่ทราบมีตอบพลาดบางข้อ แต่ก็เก่งที่สุดเท่าที่ผมรู้จัก เดาว่าที่ผิดเพราะมีการกีดกันทางการศึกษาด้านคณิตศาสตร์ ดังนั้น ไทยเราจึงไม่สามารถจัดตั้งสมาคมคณิตศาสตร์ของเราได้อย่างภาคภูมิ อ้างกันว่าเป็นศาสตร์ตะวันตก

ถึงแม้จะเลี่ยงยากเพราะวิชานี้อยู่ในระบบการศึกษา เคยมีคนเอาเด็กไปเลี้ยงที่ต่างดาว ถ้าเชื่อนะครับ เค้าว่าเด็กๆสามารถเรียนรู้ภาษาได้เองระหว่างสมาชิกในกลุ่ม เป็นเรื่องของความจำผมว่า ซึ่งต้องใช้เวลาพัฒนานานมาก จึงจะพัฒนาจากวาดรูป ตามด้วยภาษาพูด มาเป็นภาษาเขียน

วิชา Algebra นี้ เน้นการนำเอาสิ่งที่ยากจะตัดสินใจ มาวิเคราะห์ด้วยวิชาอื่นๆ ในสายวิทยาศาสตร์ แต่ติดตัวแปร จะว่าเป็นเรื่องที่เราไม่เข้าใจก็ไม่ใช่ซะทีเดียว เพราะมาจากหลายๆ สาขาวิชา ไม่จำกัดเพียงสาขาทางวิทยาศาสตร์ ที่ว่ากันว่าเยอะแล้วก็ตาม

วิทยาศาสตร์เน้นการทดลอง แต่ใช้สื่อประสม งานส่วนมากจึงอยู่ในประเทศพัฒนาแล้ว เรียนในไทยพัฒนาไม่ได้ไม่แปลกครับ

นี่เป็นสาเหตุที่อ้างวิชาอื่นอย่างคำตอบข้างบน